Wenn du k aus n Dingen auswählst, dann hast du für das erste ausgewählte Ding n Möglichkeiten, für das zweite nur noch n-1 und so weiter. Bis du k Stück ausgewählt hast.

Die Möglichkeiten entsprechen dem Term

\( n\cdot (n-1) \cdot \cdot \cdot (n-k+1) \),

das sind dann die k Faktoren für die k Auswahlmöglichkeiten.  

Das kannst du umschreiben als

\(n \cdot (n-1) \cdot \cdot \cdot (n-k+1) \)

\(=\frac{n\cdot(n-1) \cdot\cdot \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \cdot \cdot 1}{(n-k) \cdot \cdot \cdot1} \)

\(=\frac{n!}{(n-k)!} \).

Hier hast du allerdings eine Ordnung, weil wir ja von den Möglichkeiten der ersten, zweiten, etc. Auswahl gesprochen haben. Also teilen wir noch durch die Möglichkeiten unsere k ausgewählten Dinge anzuordnen. 

Es gibt k Möglichkeiten für das erste, k-1 für das zweite etc. Insgesamt \( k! \) Möglichkeiten.

Und damit ergibt sich die Formel des Binomialkoeffizienten, weil wir so die Möglichkeit von k aus n ausgewählten ohne Reihenfolge angeben können als:

\( \frac{n!}{(n-k)!k!} \)

Ich hoffe du konntest mir folgen, sonst frage gern nach! Schönen ersten Advent!