Borel Mengen

Aufrufe: 53     Aktiv: vor 6 Tagen, 7 Stunden

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Hallo
Ich bin gerade über folgenden Satz gestolpert :
Ist f : ℝ→ℝ stetig, so sind auch Urbilder von Borelmengen wieder Borelmengen.

Was wäre aber wenn f : ℝ→ℝ nicht stetig ist ? Kann man dann trotzdem noch etwas Über die Urbilder von Borelmengen sagen? 

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Punkte: 67

 

Der Wiki-Artikel beschreibt das ziemlich gut: "Ihre besondere Bedeutung erhält die borelsche $\sigma$-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von topologischen Räumen und damit sowohl an metrische als auch an normierte Räume angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen σ-Algebra alle stetigen Funktionen immer messbar sind."

Hilft dir das?
  ─   zest vor 6 Tagen, 14 Stunden
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1 Antwort
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Wenn \( f \) nicht stetig ist, lässt sich im Allgemeinen nichts über die Urbilder von Borelmengen sagen.

Betrachte beispielsweise für eine Menge \( A \) die Indikatorfunktion
\( \mathbb{I}_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{cases} \)
Wenn \( A \) eine Borelmenge ist, dann ist die Funktion messbar, aber wenn \( A \) keine Borelmenge ist, dann ist sie nicht messbar. Das heißt also: Es gibt unstetige Funktionen, die messbar sind, und es gibt unstetige Funktionen, die nicht messbar sind. Es kommt immer darauf an, welche Funktion man gerade betrachtet.
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Student, Punkte: 6.28K

 

Okey Danke ! Und was wäre, wenn {A⊂R: f^{−1}(A) ∈ B(R) } Also das Urbild eine Borelmenge ist ?   ─   bünzli vor 6 Tagen, 8 Stunden

Wenn das Urbild einer Menge eine Borelmenge ist, dann muss das im Allgemeinen nichts heißen. Wenn du eine Menge \( A \) nimmst, die keine Borelmenge ist und du nimmst ein \( a \in A \) dann kannst du damit die Funktion
\( f(x) = \begin{cases} x, & x \in A \\ a, & x \notin A \end{cases} \)
definieren. Das Urbild von \( A \) unter \( f \) ist dann \( \mathbb{R} \), also eine Borelmenge, aber \( A \) ist per Definition keine Borelmenge.
  ─   anonym83bed vor 6 Tagen, 7 Stunden

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