Wenn null auf der Verbindungsgerade liegt, dann \( \exists t \in \mathbb{R} \)

\( 0=v+t(w-v) \)

Beachten muss man noch, dass nicht gelten kann \(t =1 \), da bei \( t=1 \) gelten würde 

\( 0=v+(w-v)=w \) und wir haben w ungleich null in der Aufgabenstellung definiert.

\( 0=(1-t)v+tw\)

\( (t-1)v=w \)

\( v = \frac{1}{t-1} \cdot w \), das dürfen wir, da t ungleich 1.

Definieren wir  \( c := \frac{1}{t-1} \), so ist dies gleichbedeutend mit \( v =cw \).

Damit ist die eine Richtung gezeigt.

Sei nun die Gleichung \( v=cw \), \( c \in \mathbb{R} \) erfüllt.

(Man kann sich leicht logisch überlegen, dass die Verbindungsgerade, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist, durch den Ursprung geht, da sie einfach ein verlängerter Ortsvektor ist. Das ist aber natürlich noch kein Beweis.)

Wäre \(c=1 \), so wäre \( v=w \), was wieder in der Aufgabenstellung ausgeschlossen ist. 

Setzen wir doch einfach Mal die gegebene Gleichung in die Geradengleichung ein:

\( x=v+t(w-v)=cw+t(w-cw) \forall t \in \mathbb{R} \)

\( x=cw+tw-tcw= (c+t-tc)w \forall t \in \mathbb{R} \)

Wir schauen nun, ob ein \( t \in \mathbb{R} \) existiert, sodass:

\( c+t-tc = 0 \), woraus folgt:

\( 0=(c+t-tc)w \),was gleichbedeutend ist damit, dass der Nullpunkt in der Gerade enthalten ist.

\( 0 = c+(1-c)t \)

\( - \frac{c}{1-c}=t \) bzw. \(  \frac{c}{c-1}=t \) 

Hier brauchen wir c ungleich 1, was wir uns oben überlegt haben!

Für alle \( c \in \mathbb{R} \) ungleich 1 existiert also ein \( t \in \mathbb{R} \), sodass die Verbindungsgerade den Ursprung durchläuft.

Damit haben wir's denke ich ;)