Obere Schranke für n-te Primzahl

Erste Frage Aufrufe: 835     Aktiv: 27.07.2020 um 16:35
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Hallo! Ich brauche einen Beweis für 

$$p_n < n(\log n + \log\log n),$$
wobei p_n die n-te Primzahl und \log den natürlichen Logarithmus zur Basis e bezeichnet. Diese obere Schranke gilt für n>6.

 

Mir ist bewusst, dass ein ausführlicher Beweis nicht selbstverständlich ist, aber ich brauche ihn unbedingt und habe nach stundenlanger Recherche immer noch nichts gefunden.

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Hallo,

einen Beweis kann ich dir nicht liefern. Aber diese Aussage folgt im wesentlichen aus dem Primzahlensatz. Ich habe dann mal auf Wikipedia beim Primzahlensatz geguckt und dort findet sich auch die Abschätzung: https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz#Aussage_%C3%BCber_die_Folge_der_Primzahlen
Dort ist auch eine Quelle hinterlegt. Vielleicht hilft dir diese Quelle.   ─   christian_strack 27.07.2020 um 15:36
Hatte es mir vorhin auch angeguckt, aber muss sagen, dass die Quelle die dort hinterlegt ist lediglich die untere Schranke beweist, aber ich keinen Beweis für die obere Schranke gefunden habe. Und wenn ich mir die Kompexität der Beweise dort anschaue, dann sieht das nicht gerade nach einem Dreizeiler aus :D   ─   el_stefano 27.07.2020 um 16:31
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Dank Christians Hinweis konnte ich im Netz folgendes finden:

Einen Beweis findet man frei im Netz in

Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. 6 (1962), no. 1, 64--94. doi:10.1215/ijm/1255631807. https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631807

es heißt aber, dieser Beweis wäre fragwürdig. Ein eindeutiger Beweis wäre zu finden in:(auch frei im Netz):

Massias, Jean-Pierre, and Robin, Guy. "Bornes effectives pour certaines fonctions concernant les nombres premiers." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 8.1 (1996): 215-242. <http://eudml.org/doc/247826>.

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