Lineares Gleichungssystem, Dimension,Basis

Aufrufe: 574     Aktiv: 10.02.2022 um 05:03

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Aufgabe:

Es sei V der Losungsraum des folgenden linearen Gleichungssystems über Q:
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0
2x1 + 11x2 + 15x3 + 13x4 = 0
4x1 − 2x2 − 3x3 + 2x4 = 0
14x1 + 5x2 + 6x3 + 19x4 = 0

a) Man bestimme die Dimension von V .

b) Man zeige, dass v = (1, 1, 0, −1) in V liegt.

c) Man bestimme eine Basis von V . 

Meine Lösungen:
Zu a) habe ich geschrieben, dass die Dimension von V 4 ist, weil wir 4 unterschiedliche Variablen haben, also (x1 bis x4). Ist das richtig?
Zu b) habe ich v einfach in "2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0" eingesetzt und die Lösung stimmt, oder muss ich dann v in allen Gleichungen einsetzen?
Zu c) Hier war ich ein bisschen verzweifelt. Gelte Basis(V) = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} als Basis? Ich bin mir nicht sicher, weil meine angegebene Basis ja die kanonische Basis ist.
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Nur weil du 4 Variablen hast, heißt das nicht, dass die Dimension von $V$ ebenfalls 4 ist. Um die Dimension bestimmen zu können brauchst du erstmal den Lösungsraum. Fange also erst einmal an, diesen zu bestimmen. Dann kannst du dir überlegen, welche Dimension dieser hat. Bei b) muss man dann nur schauen, ob der angegebene Vektor in diesem Lösungsraum liegt. Aber um deine Frage zu beantworten: Ja, der Vektor muss natürlich alle Gleichungen erfüllen, um im Lösungsraum zu liegen. Aufgabe c) bekommt man eigentlich schon relativ gut mit Aufgabe a) hin, weil man den Lösungsraum ja sowieso angeben muss. Würde die kanonische Basis den Lösungsraum aufspannen, so würde jeder Vektor des $\mathbb{R}^4$ das LGS lösen; das ist aber offensichtlich nicht der Fall. 

Schau nochmal in deine Unterlagen nach. Da habt ihr bestimmt ein Beispiel gemacht. Ansonsten findet man auch viele Beispiele dazu im Internet. Mache dir wirklich klar, was ein Lösungsraum ist, wie man prüft, ob ein Vektor in diesem Raum liegt und wie man eine Basis davon bestimmt.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Hey,

ich habe das LGS jetzt gelöst und zwei Nullzeilen erhalten.
Das heißt, ich erhalte bei diesem LGS ein Lösungsraum mit unendlich vielen Lösungen. Was heißt das nun für die Dimension?

Meine Lösung lautet:
x1 = -t + 1/16*s
x2 = -11/8 *s -t
x3 = s
x4 = t

Edit:
Das würde heißen,dass meine Basis nun wie folgt aussehe oder?
Lösungsraum: {t*(-1 , -1 , 0 , 1) + s*(1/16, -11/8 , 1, 0) | t,s aus R}

Rang(A) ist dann = 2;
Demnach, da wir für zwei Variablen Werte aussuchen können, ist die Dimension = dim(V) = 4 - 2 = 2.
Bin ich auf der richtigen Spur?
  ─   winch 10.02.2022 um 02:37

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.