Question

Darstellungsmatrix bestimmen

Aufrufe: 1656 Aktiv: 08.07.2020 um 17:39

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Hallo Leute,

bei der Aufgabe komme ich leider auch nicht weiter. Ich habe erstmal die 2 Abbildung, "k": R->P₁, dargestellt. Das heißt, ich habe die Ableitungen gebildet und die gegebenen Werte eingesetzt. Daraus kommt ein Vektor. Dann komme ich nicht weiter. Die Basis A' hat zwei Komponenten. Meine multiplizierte Matrix "k" mit "l" ist aber auch ein Vektor. Wie kann ich die Aufgabe dann lösen? Wie kann ich ein Vektor bezüglich einer Basis mit 2 Komponenten darstellen?

Hilfe ist willkommen

Lg kamil

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gefragt 02.07.2020 um 01:01

kamil
Student, Punkte: 370

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1 Antwort

christian_strack · Accepted Answer · 2020-07-05T11:21:46Z

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Hallo,

du hast nur $ b_2 $ in deine Abbildung eingetzt. Das Ergebnis ist auch richtig. Damit hast du deinen zweiten Spaltenvektor gefunden. Wie sieht denn das Bild von $ b_1 $ aus?

Da $ k \circ l $ von der Basis $ \mathcal{A}' $ in die Basis $ \mathcal{C} $ gehen soll, müssen wir $ l $ noch etwas verändern. Denn $l $ startet in der Basis $ \mathcal{A} $.

Wir brauchen hier also einen Basiswechsel. Wie sieht die Basiswechselmatrix von $ \mathcal{A} \to \mathcal{A}' $ aus?

Betrachten wir die Abbildung

$$ f : V \to W $$

Sei nun $M $ die Abbildungsmatrix von $ f $ und $ T $ die Basistransformationsmatrix. Wenn wir nun in $ V $ die Basis ändern wollen, müssen wir

$$ M \cdot T $$

rechnen. Wenn wir die Basis in $ W $ ändern wollen, müssen wir

$$ T \cdot M$$

rechnen. Also eine Multiplikation von rechts ändert die Basis des Definitonsraums $ V $ und von links die des Zielraums $ W $.

Grüße Christian

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geantwortet 05.07.2020 um 11:21

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Hallo,

ich habe weiter gemacht. Die Abbildung "k" habe ich jetzt richtig ausgerechnet. Habe den Fehler gesehen.

Dann habe ich mich an die Basiswechselmatrix A->A' versucht. Ich habe die A-Vektoren als Linearkombination der A'-Vektoren gebildet. Die Koeffizienten bilden dann die Matrix. Ist das richtig?

Bei dem letzten Schritt komme ich nicht weiter. Ich versuche immer alles zu übertragen, was du schreibst. :)

In meinem Beispiel ist die Abbildung "kol" gesucht. Das heißt, ich setze "l" in "k" ein. Also geht die Abbildung l->k.
Mein Problem: Wie erkenne ich aus der Aufgabenstellung jetzt, ob ich in "k"oder "l" die Basis ändern will? ─ kamil 05.07.2020 um 15:13

Die beiden Matrizen sind schon mal richtig :)
So nun haben wir die Abbildungsmatrix von $ l_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} $ und von $ k_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B} } $. Für die Abbildungen gilt
$$ l : \mathcal{A} \to \mathcal{B} , \quad k: \mathcal{B} \to \mathcal{C} $$
Für die Komposition gilt dann
$$ k \circ l : \mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C} $$
Die Abbildung geht also von der Basis $ \mathcal{A} $ über die Basis $ \mathcal{B} $ bis letztendlich in die Basis $ \mathcal{C} $.
Jetzt steht dort wir wollen die Abbildungsmatrix $ (k \circ l)_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}'} $ haben. Sie soll also in der Basis $ \mathcal{A}' $ starten ansatt in $ \mathcal{A} $.
Daran sehen wir welche Basis geändert werden muss. Ist das klar?
Das können wir nun auch zwei Arten durchführen. Entweder wir wechseln erst bei $ l $ die Basis und berechnen danach die Komposition (Multiplikation) oder wir berechnen zuerst die Komposition und wechseln dann die Basis.
Der Rechenaufwand bleibt die gleiche.
Kannst du das Ergebnis berechnen?

Die beiden Matrizen sind schon mal richtig :)
So nun haben wir die Abbildungsmatrix von $ l_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} $ und von $ k_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B} } $. Für die Abbildungen gilt
$$ l : \mathcal{A} \to \mathcal{B} , \quad k: \mathcal{B} \to \mathcal{C} $$
Für die Komposition gilt dann
$$ k \circ l : \mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C} $$
Die Abbildung geht also von der Basis $ \mathcal{A} $ über die Basis $ \mathcal{B} $ bis letztendlich in die Basis $ \mathcal{C} $. 
Jetzt steht dort wir wollen die Abbildungsmatrix $ (k \circ l)_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}'} $ haben. Sie soll also in der Basis $ \mathcal{A}' $ starten ansatt in $ \mathcal{A} $. 
Daran sehen wir welche Basis geändert werden muss. Ist das klar?
Das können wir nun auch zwei Arten durchführen. Entweder wir wechseln erst bei $ l $ die Basis und berechnen danach die Komposition (Multiplikation) oder wir berechnen zuerst die Komposition und wechseln dann die Basis. 
Der Rechenaufwand bleibt die gleiche. 
Kannst du das Ergebnis berechnen?

─ christian_strack 06.07.2020 um 09:49

Oh ich sehe gerade eine Sache habe ich vergessen zu erwähnen.
Wenn wir die Basis im Definitionsbereich wechseln wollen (also wie hier), müssen wir mit der Inversen der Transformationsmatrix multiplizieren.

Berechne am Besten einmal zuerst $ (k \circ l)_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}} $ und dann beschäftigen wir uns nochmal genauer mit dem transformieren der Basis. :) ─ christian_strack 06.07.2020 um 09:53

Okay, die Komposition habe ich ausgerechnet. ^^ ─ kamil 06.07.2020 um 15:15

Mir fällt gerade auf ich habe einen kleinen Rechenfehler gemacht, genau wie du. Für die Matrix von $ k $ gilt für die zweite Komponente
$$ p'(0) + p(1) $$
Den Part $ p'(0) $ haben wir beide nicht mit einberechnet. Es gilt
$$ k(b_1(x)) = \begin{pmatrix} b'_1(1) \\ b_1'(0) + b_1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Bei $ b_2 $ fehtl auch eine $ -2 $ im zweiten Argument.
Damit ergibt sich die Matrix
$$ k_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -6 \end{pmatrix} $$

So die Komposition hast du aber vom Prinzip richtig gerechnet.
$$ k \circ l = k \cdot l $$
Damit ergibt sich mit der korrigierten Matrix
$$ (k \circ l)_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}} = \begin{pmatrix} -6 & -4 \\ -6 & 0 \end{pmatrix} $$
So nun wollen wir das die Matrix aber im Definitionsraum die Basis $ \mathcal{A}' $ hat. Dafür müssen wir jetzt die Transformationsmatrix auf unsere Matrix anweden.

Betrachten wir das ganze mal ganz allgemein. Nehmen wir eine Abbildung
$$ f : V \to W $$
mit der Basis $ A $ in $V $ und der Basis $ B $ in $ W $. Außerdem sei $ A' $ auch eine Basis von $ V $ und $ B' $ auch eine von $ W $. Dann nennen wir $ T_A $ die Transformationsmatrix von $ A $ nach $ A' $ und $ T_B $ die Transformationsmatrix von $ B $ nach $ B' $.
So, nun können wir die Abbildung in Matrischreibweise betrachten
$$ F \cdot \vec{x} = \vec{y} $$
Wenn wir nun die Basis in $ V $, also im Definitonsraum wechseln wollen, betrifft das $ \vec{x} $. Dieser soll nun durch eine andere Basis dargestellt werden. Nun gilt
$$ T^{-1} \cdot T = E$$
mit $ E $ der Einheitsmatrix. Um nun $ \vec{x} $ zu transformieren, rechnen wir
$$ \begin{array}{cccc} & F \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & F \cdot E \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & F \cdot T_A^{-1} \cdot T_A \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & F \cdot T_A^{-1} \cdot \vec{x}' & = & \vec{y} \end{array} $$
Damit wir also den Vektor $ \vec{x} $ zu $ \vec{x}' $ transformieren zu können, müssen wir auch die Matrix von rechts mit der Inversen unserer Transformationsmatrix multiplizieren.
Wenn wir den Zielraum transformieren wollen, wollen wir $ \vec{y} $ transformieren.
$$ \begin{array}{cccc} & F \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & T_B \cdot F \cdot \vec{x} & = & T_B \cdot \vec{y} \\ \Rightarrow & T_B \cdot F \cdot \vec{x} & = & \vec{y}' \end{array} $$
Um den Zielraum zu tranformieren, müssen wir also von links mit der Transformationsmatrix multiplizieren.

So nach diesem Exkurs, wie sieht die transformierte Matrix aus?

Mir fällt gerade auf ich habe einen kleinen Rechenfehler gemacht, genau wie du. Für die Matrix von $ k $ gilt für die zweite Komponente
$$ p'(0) + p(1) $$
Den Part $ p'(0) $ haben wir beide nicht mit einberechnet. Es gilt
$$ k(b_1(x)) = \begin{pmatrix} b'_1(1) \\ b_1'(0) + b_1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Bei $ b_2 $ fehtl auch eine $ -2 $ im zweiten Argument. 
Damit ergibt sich die Matrix
$$ k_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -6 \end{pmatrix} $$

So die Komposition hast du aber vom Prinzip richtig gerechnet. 
$$ k \circ l = k \cdot l $$
Damit ergibt sich mit der korrigierten Matrix
$$ (k \circ l)_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}} = \begin{pmatrix} -6 & -4 \\ -6 & 0 \end{pmatrix} $$
So nun wollen wir das die Matrix aber im Definitionsraum die Basis $ \mathcal{A}' $ hat. Dafür müssen wir jetzt die Transformationsmatrix auf unsere Matrix anweden.

Betrachten wir das ganze mal ganz allgemein. Nehmen wir eine Abbildung 
$$ f : V \to W $$
mit der Basis $ A $ in $V $ und der Basis $ B $ in $ W $. Außerdem sei $ A' $ auch eine Basis von $ V $ und $ B' $ auch eine von $ W $. Dann nennen wir $ T_A $ die Transformationsmatrix von $ A $ nach $ A' $ und $ T_B $ die Transformationsmatrix von $ B $ nach $ B' $. 
So, nun können wir die Abbildung in Matrischreibweise betrachten
$$ F \cdot \vec{x} = \vec{y} $$
Wenn wir nun die Basis in $ V $, also im Definitonsraum wechseln wollen, betrifft das $ \vec{x} $. Dieser soll nun durch eine andere Basis dargestellt werden. Nun gilt
$$ T^{-1} \cdot T = E$$ 
mit $ E $ der Einheitsmatrix. Um nun $ \vec{x} $ zu transformieren, rechnen wir
$$ \begin{array}{cccc} & F \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & F \cdot E \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & F \cdot T_A^{-1} \cdot T_A \cdot \vec{x} & = &  \vec{y} \\ \Rightarrow & F \cdot T_A^{-1} \cdot \vec{x}' & = & \vec{y} \end{array} $$
Damit wir also den Vektor $ \vec{x} $ zu $ \vec{x}' $ transformieren zu können, müssen wir auch die Matrix von rechts mit der Inversen unserer Transformationsmatrix multiplizieren.
Wenn wir den Zielraum transformieren wollen, wollen wir $ \vec{y} $ transformieren.
$$ \begin{array}{cccc} & F \cdot \vec{x} & = & \vec{y} \\ \Rightarrow & T_B \cdot F \cdot \vec{x} & = & T_B \cdot \vec{y} \\ \Rightarrow & T_B \cdot F \cdot \vec{x} & = & \vec{y}' \end{array} $$
Um den Zielraum zu tranformieren, müssen wir also von links mit der Transformationsmatrix multiplizieren.

So nach diesem Exkurs, wie sieht die transformierte Matrix aus?

─ christian_strack 06.07.2020 um 17:27

Puhhh..gute Frage. Ich frage mich erstmal, was ist F? Die Transformationsmatrix von A nach A' haben wir schon ausgerechnet. Gesucht ist dann also x, richtig? Ich soll die Gleichung nach x umstellen? Was ist mein y? Ich blick da noch nicht ganz durch 🤯 ─ kamil 06.07.2020 um 21:01

Ne ich wollte hier einfach nur ganz allgemein die Idee der Basistransformation zeigen. War vielleicht etwas zu viel des guten ;)
$ F $ war dabei irgendeine Abbildung.

Worauf ich im Prinzip hinauswollte ist das wir die Matrix von links multiplizieren, wenn wir den Zielraum transformieren wollen und von rechts wenn wir den Definitionsraum transformieren wollen.
Worauf aber insbesondere geachtet werden muss ist das beim transformieren des Definitonsraums wir die Inverse der Transformationsmatrix nutzen, anstatt die Transformationsmatrix selbst. ─ christian_strack 07.07.2020 um 11:10

Also muss ich jetzt die Matrix, die wir durch Multiplikation rausbekommen haben, nur mit der Inverse von der Matrix von A->A', die wir ja auch haben, multiplizieren? Dann haben wir das Ergebnis? Ich mache das mal ─ kamil 07.07.2020 um 12:27

Ich habe es gemacht. Ist das Ergebnis richtig? :P ─ kamil 07.07.2020 um 12:47

yes das ist jetzt die Matrix $ (k \circ l)_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{A}'} $ :) ─ christian_strack 07.07.2020 um 14:29

Danke.

Bist du bei Linkin nicht so aktiv?

https://mathefragen.de/frage/21385/orthogonale-projektion-auf-untervektorraum-bestimmen/

─ kamil 08.07.2020 um 17:39

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