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Nimm die Partialsumme \(\sum_{k=1}^nkx^k\) und multipliziere sie mit \((1-x)\). Du musst dann ein wenig rechnen, um die Ausdrücke zu vereinfachen und auf die geometrische Summe zurückzuführen, bevor Du \(n\to\infty\) gehen lässt.
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slanack
20.01.2021 um 18:57
Nee, ist schon richtig. Jetzt weiter rechnen: zu zwei Summen auseinanderziehen, eine Indexveschiebung machen, und dann wieder mit einer Summe ausdrücken.
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slanack
20.01.2021 um 19:25
Arbeite besser mit der Partialsumme, sonst gibt es am Schluss Probleme. Aber sonst ist es schon richtig.
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slanack
20.01.2021 um 19:37
Das kam in der Vorlesung bestimmt schon mal vor, z.B. beim Beweis der Summenformel für die geometrische Reihe. Den imitieren wir hier ja.
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slanack
20.01.2021 um 19:39
Ok, immerhin. Wir wollen in den beiden Summen weiter oben denselben Exponenten stehen haben. Ersetze in der zweiten Summe \(k\) durch \(k-1\) und überlege Dir, wie Du dann die Grenzen der Summe anpassen musst, damit trotzdem über dieselben Terme summiert wird, sich die Gesamtsumme also nicht ändert.
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slanack
20.01.2021 um 20:00
Genau. Danach schreibst Du einige Anfangs- und Endterme extra, so dass die Summen über dieselben Indexbereiche laufen. Dann kannst Du sie wieder zusammenführen. Das ist ähnlich wie bei Teleskopsummen.
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slanack
20.01.2021 um 20:07
Das stimmt leider nicht... muss heißen: \[\sum_{k=1}^nkx^k-\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)x^k.\]
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slanack
20.01.2021 um 22:13