(Twitter)
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So hätte ich es auch gemacht Danke, aber in meiner Lösung steht -2e^(-t/2)
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anonym4e376
05.12.2019 um 15:04
Da wurde nicht abgeleitet, sondern integriert ;).
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orthando
05.12.2019 um 15:06
Wie geht das;(
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anonym4e376
05.12.2019 um 15:10
Zu Beginn kannst du dir erstmal merken, dass eine e-Funktion, ob Ableitung oder Integration, stets gleich bleibt.
Du kannst also direkt sagen:
\(\int e^{x} \; dx= e^{x} + c\)
Allerdings brauchen wir die Umkehrung der Kettenregel, wenn der Exponent kein einfaches x ist. Dafür substituieren wir, damit wir das gerade gesehene einsetzen können. Bei uns also:
\(f(x) = e^{-\frac t2}\)
\(F(x) = \int e^{-\frac t2} \;dt\)
mit \(u = -\frac t2\) ergibt sich \(\frac{du}{dt} = \left(-\frac t2\right)' = -\frac12\) und damit: \(dt = -2du\)
So können wir den Exponenten der e-Funktion durch u ersetzen, müssen aber auch das \(dt\) ersetzen, da wir nicht mehr nach u integrieren!
\(F(x) = \int e^{u} \; (-2du)\)
\(-2\) kannst du nun vorziehen und wir haben nur noch das Integral über die e-Funktion.
\(F(x) = -2\int e^u \; du = -2 e^u + c = -2e^{-\frac t2}+c\)
Letzteres erhält man, wenn man resubstituiert. ─ orthando 05.12.2019 um 15:59
Du kannst also direkt sagen:
\(\int e^{x} \; dx= e^{x} + c\)
Allerdings brauchen wir die Umkehrung der Kettenregel, wenn der Exponent kein einfaches x ist. Dafür substituieren wir, damit wir das gerade gesehene einsetzen können. Bei uns also:
\(f(x) = e^{-\frac t2}\)
\(F(x) = \int e^{-\frac t2} \;dt\)
mit \(u = -\frac t2\) ergibt sich \(\frac{du}{dt} = \left(-\frac t2\right)' = -\frac12\) und damit: \(dt = -2du\)
So können wir den Exponenten der e-Funktion durch u ersetzen, müssen aber auch das \(dt\) ersetzen, da wir nicht mehr nach u integrieren!
\(F(x) = \int e^{u} \; (-2du)\)
\(-2\) kannst du nun vorziehen und wir haben nur noch das Integral über die e-Funktion.
\(F(x) = -2\int e^u \; du = -2 e^u + c = -2e^{-\frac t2}+c\)
Letzteres erhält man, wenn man resubstituiert. ─ orthando 05.12.2019 um 15:59
Hä aber F ist doch die „Aufleitung“ und nicht die Ableitung von e^(-t/2)? Und trotzdem stimmt das Ergebnis ??? Ich bin grad total verwirrrt
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anonym4e376
05.12.2019 um 16:12
Von der -1/2 auf die -2 komme ich indem ich, da ich ja dt=du/(-1/2) die -1/2 mit dem Kehrbruch in den Nenner bringe oder ?
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anonym4e376
05.12.2019 um 16:26
Du hast doch gefragt, wie "das" funktioniert? Ich dachte du meintest das Integrieren. Das hab ich hier gezeigt.
Zum letzten Beitrag: Genau :) (Nicht Nenner, sondern Zähler) ─ orthando 05.12.2019 um 16:43
Zum letzten Beitrag: Genau :) (Nicht Nenner, sondern Zähler) ─ orthando 05.12.2019 um 16:43
Danke Dir vielmals :)
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anonym4e376
05.12.2019 um 19:47