Du musst den Ansatz \(ax^2+bx+c\) machen. Deswegen passt der Scheitelpunkt bei dir nicht. Du bekommst also noch eine dritte Gleichung. Der Scheitelpunkt liegt immer in der Mitte von Punkten gleicher Höhe (Symmetrieachse der Parabel). Die y-Koordinate bekommst du durch die Gerade \(g\).

Hey, diese Aufgabe ist eine typische Steckbriefaufgabe. 
Ich weiß zwar nicht in welcher Klassenstufe beziehungsweise in welchem Bundesland (wegen Lehrplan usw.) du bist, aber Steckbriefausgaben sind bei uns erst in der Oberstufe in der Differentialrechnung dran. Deswegen hoffe ich, dass falls du in einer Klassenstufe unter der 11. Klasse bist, du meiner Erklärung folgen kannst. :)

Der Sinn von Steckbriefaufgaben ist, aus gegebenen Bedingungen (z.B. Punkten, Ableitungen, Extremstellen, Wendepunkten) eine Funktionsgleichung eines bestimmten Grades zu bestimmen. Der Grad einer Funktion sagt einfach nur aus, was die höchste Potenz im Funktionsterm ist. Da du hier sagst, dass eine Parabel gesucht ist, kann man davon ausgehen, dass eine Funktionsgleichung zweiten Grades, also mit \(x^{2}\) als höchste Potenz gesucht ist. Für diese Art von Funktionen gilt die allgemeine Form \(f(x)=ax^{2}+bx+c\). Wie du siehst gibt es in dieser Form drei Unbekannte: a, b und c. Diese ermittelt man mit einem linearen Gleichungssystem. Um dies jedoch tun zu können, müssen wir erstmal sehen, was wir gegeben haben: \(A(-2;1)\) und \(B(3;1)\). Da wir 3 Unbekannte haben, brauchen wir drei Bedingungen. Bisher haben wir zwei. Wir müssen in diesem Fall den Scheitelpunkt bestimmen. Da der Scheitelpunkt auf \(g(x)=-1\) liegen soll, hat er einen y-Wert von -1. Den x-Wert findet man heraus, indem man weiß, dass der Scheitelpunkt genau mittig zwischen A und B liegen muss. Die zwei Punkte haben eine "Entfernung" von 5 auf der x-Achse. Das heißt, dass der Scheitelpunkt bei 2,5 also x=0,5 liegen muss, da dies die Mitte zwischen Punkt A und B ist. Es ergibt sich somit \(S(0,5;-1)\). Somit haben wie drei Bedingungen die wir wie folgt nutzen:

I \(y = ax^{2}+bx+c = a*(-2)^{2}+b*(-2)+c = 4*a-2*b+1*c=1\) (Für Punkt A)
II \(y = ax^{2}+bx+c = a*(3)^{2}+b*(3)+c = 9*a+3*b+1*c=1\) (Für Punkt B)
III \(y = ax^{2}+bx+c = a*(0,5)^{2}+b*(0,5) +c= 0,25*a+0,5*b+1*c=-1\) (Für den Scheitelpunkt)

Nun haben wir ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen. Wie du dies ausrechnest, ist dir überlassen. Naheliegend wäre es, dies mit dem Taschenrechner zu tun. Es geht natürlich aber auch händisch mit dem Gauss-Algorithmus oder auch in Wolfram-Alpha.

Als Ergebnis erhältst du folgende Werte:
\(a=\frac {8}{25}\)
\(b=-\frac {8}{25}\)
\(c=-\frac {23}{25}\)
Somit haben wir folgende Funktionsgleichung: \(f(x)=\frac {8}{25}x^{2}-\frac {8}{25}x-\frac {23}{25}\)

Dieses Ergebnis sieht vielleicht komisch aus, aber wenn du dir die Funktion anzeigen lässt, siehst du, dass alle gegebenen Punkte übereinstimmen.

Ich hoffe ich konnte dir helfen und meine Erklärung war nicht zu lang / unverständlich :D