Mehrfachintegrale Aufgabenstellung

Aufrufe: 163     Aktiv: 06.10.2021 um 13:34

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Guten Tag, ich stehe hier vor einem Problem... Ich weiß wie man Mehrfachintegrale berechnet, nur verstehe ich nicht ganz welche Grenzen ich einsetzten soll. Bedeutet hier der Bereich B folgendes (also meine Überlegung): 

 Das dx berechne ich von Obergrenze: 2 bis Untergrenze -4.

Und das dy von Obergrenze: x^2+2 bis Untergrenze (x/2)-2. ( hier hätte ich die Ungleichung 2y >= x-4 einfach nach y aufeglöst)

Aber natürlich müsse ich dann vorher nach dy integrieren (ist das Erlaubt?), damit ja dann am ende keine Variablen stehen bleiben... Stimmt das so oder bin ich da am Holzewg?

EDIT vom 05.10.2021 um 09:33:

Nachtrag: Habe hier mal den Integrationsbereich den ich skizziert habe

EDIT vom 05.10.2021 um 18:40:

Nachtrag: ich habe hier jetzt die originale Aufgabenstellung gepostet, bei der ich am verzweifeln bin...

mfg Xaver

EDIT vom 06.10.2021 um 00:08:

Neues Bild vom IB

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\(-4\leq x\leq2\land\frac{x}{2}-2\leq y\leq x^2+2\Rightarrow \int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}2xe^ydxdy\)
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Vielen Dank!   ─   xaverhauer 02.10.2021 um 15:35

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Genau, du musst dann zuerst über y integrieren, hört sich aber sonst soweit korrekt an.
\[\int_{-4}^2 \int_{\frac{x-4}{2}}^{x^2+2} 2x e^y\; \mathrm{d}y\mathrm{d}x\]
Wenn du zuerst über \(x\) integrieren wollen würdest, müsstest du die Definition des Gebietes auch dementsprechend umformen (1), also \(y_1 \le y \le y_2 \;\land\; g(y) \le x \le h(y)\).


(1) Hier wegen dem quadratischen Term nicht möglich, es sei denn man teilt B in 2 Gebiete (\(\left\{ x \in B \; :\; x<0 \right\}\) und \(\left\{ x \in B \; :\; x\ge 0 \right\}\)) und \(y\) in weitere Intervalle auf - es wird aufjedenfall deutlich komplexer.
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Vielen Dank!   ─   xaverhauer 02.10.2021 um 15:35

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Dein Vorgehen ist genau richtig, berechne also $\int\limits_{-4}^2\int\limits_{\frac{x}2-2}^{x^2+2} f(x,y)\, dy\, dx$, genauer also: $\int\limits_{-4}^2(\int\limits_{\frac{x}2-2}^{x^2+2} f(x,y)\, dy)\, dx$. Zuerst nach y, dann nach x.
In der anderen Reihenfolge würde es auch gar nicht gehen, denn dann wäre ja beim inneren Integral das x gleichzeitig Integrationsvariable und auch in den Grenzen auftauchen, das geht nicht.
Eine Skizze vom Integrationsgebiet ist auch oft hilfreich.
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Vielen Dank!
  ─   xaverhauer 02.10.2021 um 15:35

Jetzt habe ich ein anderes Problem bei einer gleichen Aufgabenstellung, nur dass ich für das dy die Grenzen habe, aber für das dx nicht, weil der Bereich wie folgt definiert ist: x^2+y^2 <= 4 und x <= 2+y .... Jetzt habe ich hier das Problem dass ich ja einmal ein <= und einmal ein >= brauche für die Grenzen... Die Definition von dem dy lautet: -2-x <= y <= 2-x
Aber solche Ungleichzeichen (<=) drehen sich ja nur um wenn man alles mit *(-1) multipliziert, was dann aber wiederum ein -x geben würde... Wie gehe ich hier nun am besten vor? Eigentlich wollte ich einfach die x^2+y^2 <= 4 umstellen auf x, aber dann ist eben immernoch <=
  ─   xaverhauer 02.10.2021 um 18:10

Hast du ne Skizze gemacht?   ─   mikn 02.10.2021 um 19:17

Nein das hab ich leider nicht gelernt wie man bei so etwas eine Skizze erstellt...   ─   xaverhauer 02.10.2021 um 23:45

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Als Student kann man sich einfache Dinge auch mal selbst erarbeiten (zumal man nur Schulmathematik dazu braucht). Der Integrationsbereich ist durch Ungleichungen beschrieben. Also zeichnet man zu jeder Ungleichung den Bereich (Randkurve zeichnen, Bereich (unter/über Kurve) markieren.. Dann schaut man sich die Schnittmenge an, das ist der Integrationsbereich. Das solltest Du unbedingt machen, es ist auch nützlich, wenn man die Integralgrenzen umschreiben will/muss (von zuerst dx, dann dy, auf zuerst dy, dann dx). Google "integrationsbereich skizzieren" für Beispiele.   ─   mikn 02.10.2021 um 23:53

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Ich geb dir mal einen Tipp: \(x^2 + y^2\) ist das Quadrat der Euklidischen Norm (Länge) im \(\mathbb{R}^2\). Damit beschreibt \(x^2 + y^2 \le c\) eine Kreisfläche um den Ursprung mit Radius \(\sqrt{c}\).
Kannst du jetzt eine Skizze erstellen?
  ─   posix 03.10.2021 um 08:38

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Diese Ungleichung für einen Kreis (oder auch im höherdimensionalen Kugel/...) wirst du sicherlich noch öfters sehen, es wäre sehr lohnenswert das wirklich zu verstehen.   ─   posix 03.10.2021 um 08:41

Danke schonmal für die Antworten, und Entschuldigung das ich mich jetzt erst melde, nur jetzt ist wieder Unistress... Ich habe mich da jetzt reingelesen, und habe auch auf Desmos mir die Integrationsbereiche skizziert.(weils einfach schnell geht und man experimentieren kann). x^2+y^2 <= 4 ist ein Kreis mit dem Radius 2, das ist mir mittlerweile "logisch" warum... Nur bei x <= 2+y bin ich mir nicht sicher, das ist einfach nur eine lineare Funktion die bei (0/-2) und (2/0) durchgeht, und somit einen Teil des Kreises durchschneidet... dann hab ich mir noch gedacht ich könnte die Ungleichung umstellen auf x-y <= 2 , und das ist genau das Gleiche... also ist nun mein Integrationsbereich die Überschneidung von dem Kreis und der linearen Funktion? Wenn ja, verstehe ich immer noch nicht woher ich dann die Grenzen erhalten soll.... das wäre ja der Flächeninhalt von einem Kreis minus einem Stück davon abgeschnitten.... mfg xaver   ─   xaverhauer 04.10.2021 um 20:29

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Schulmathematik: y=x-2 ist eine Gerade. (x,y) mit $y > x-2$ liegen über der Geraden, mit $<$ darunter. Damit solltest Du den IB haben. Nun mach Dir klar, wie beim Integrieren die Fläche durchlaufen wird.
$\int_a^b f(x,y)\, dy$ heißt y läuft von a bis b, das ist ein SENKRECHTER Streifen in der Skizze. Die senkrechten Streifen werden dann noch für x von ... bis... durchlaufen (Integral dx).
Andersrum, $\int ...\,dx\,dy$ (natürlich andere Grenzen als eben): Durchlaufen von waagerechten Streifen (dx).
Dieses Verständnis ist wichtig, damit man ggf Doppelintegrale umschreiben kann (von dxdy auf dydx, oder umgekehrt, je nachdem, was bequemer ist).
Am Ende (des Integrierens) muss der ganze IB durchlaufen worden sein, mit waagerechten Linien oder senkrechten.
  ─   mikn 04.10.2021 um 20:39

Ok vielen Danke für die Antwort... ich habe mir das jetzt oft durchgelesen und recherchierte und verstanden was Sie meinen mit den senkrechten und waagrechten Streifen. Dann habe mich mir noch einmal den IB skizziert und zwar von allen 4 Bedingungen, also von x^2+y^2 <= 4 und x <= 2+y und -2-x <= y <= 2-x, und habe jetzt herausgefunden dass die Schnittmenge ein Rechteck im Kreis ist, was auf einer Seite "offen" ist und dort durch den Rand der Kurve begrenzt ist und auch nicht "gerade" im x,y Koordinatensystem liegt, sondern quasi 90° verschoben. Ich würde nun die Grenzen von dx mit 2-y und -2-y beschreiben.... weil ich das wenn ich richtig denke vertauschen muss? und dann würde ich als erstes nach dx, und dann bei dy würde ich die Grenzen von 2 bis -2, aber was passiert mit dem Kurvenstück, das passt ja dann auch wieder nicht... also ich bin hier ziemlich am Verzweifeln :=(   ─   xaverhauer 05.10.2021 um 08:11

Wie lautet jetzt die Aufgabe genau, bzw. wie ist der IB beschrieben? Bitte im Original.
  ─   mikn 05.10.2021 um 12:43

Ok, habe Ihnen nun die originale Aufgabenstellung gepostet....   ─   xaverhauer 05.10.2021 um 18:41

Ok, danke, sorry, ich hatte mich vertan. Dein Bild ist korrekt. Jetzt zeichne senkrechte Linien in den Bereich, das liefert die Grenzen für das dy-Integral (das innere). Die Grenzen sind aber nicht die, die Du vorher genannt hast ("die Grenzen vom dem dy sind...), das war ein unzulässiger Schluss aus der Aufgabenstellung. Am Bild sieht man leicht, wie die richtigen Grenzen sind. Und man muss das Integral aufteilen in zwei Teile (aufspalten bei x=0, sieht man ja auch am Bild). Also, wie lautet nun das Doppelintegral mit den richtigen Grenzen?   ─   mikn 05.10.2021 um 21:12

Ok, vielen Dank.... Ich bin mir mit den Grenzen immernoch unsicher.... kann es sein dass dann das Doppelint. lautet:
12xy dy dx mit den Grenzen:

dy = Obergrenze: 2-x und Untergrenze -2-x
dx = Obergrenze: 2 und Untergrenze -2

aber was ich nicht verstehe ist, wie ich den Teil in die Grenzen bekommer der qasui der 1/4 Kreis ist...

Ich hätte noch ein dumme Idee die glaube ich kompliziert ist, indem ich den 1/4 Kreis mit r*dr*dphi berechne bzw integriere und die anderen "3 Dreiecke" indem ich mir da 1 Dreieck ausrechne und dann mal 3 rechne... aber das muss doch viel einfach gehen oder nicht?
Ich bin mir da mit den Grenzen einfach sehr unsicher....
  ─   xaverhauer 05.10.2021 um 22:43

Würdest Du bitte die senkrechten Linien in Dein Bild zeichnen, damit wir weiterkommen? Mach das Bild nochmal sauber neu.
Beachte meine vorherigen Hinweise. Gewöhne Dir an, erst die Untergrenze, dann die Obergrenze abzulesen (entspricht der hiesigen Leserichtung von links nach rechts). Überlege Dir, was es für x und y bedeutet, wenn (x,y) die Gleichung x^2+y^2=4 erfüllt.

  ─   mikn 05.10.2021 um 22:51

Ok, danke. Ich hab jetzt das Bild nochmal neu gezeichnet, und auch die senkrechten Linien eingetragen. Nur irgendwie komme ich trotzdem noch nicht weiter, ich komm mir schon so dumm vor. Wenn ich jetzt das ganze in y Richtung integrieren will, dann habe ich (von links nach rechts mit dem Streifen) einmal die Grenze von -2-x und einmal oben das von der Kreiskurve (bei x im negativen) und dann nach x=0, also im positiven, einmal das 2+y und einmal das 2-x... und wurzel(4-x^2) wäre die Raumkurve, aber nur die "obere Hälfte"... ich verstehe jetzt nicht wie ich diese 4 Sachen zusammenknüpfen kann, damit ich auf die Grenzen von dy komme... tut mir echt schon leid dass ich so nerve aber ich wills echt verstehen, aber steh komplett am Holzweg irgendwie...   ─   xaverhauer 06.10.2021 um 00:06

Das Bild ist schon mal gut. Das Durcheinander mit den Grenzen verstehe ich nicht. Im Bereich von x=-2 bis x=0, was ist die untere Grenze für y und was die obere?
Im Bereich von x=0 bis x=2, was ist die untere Grenze für y und was die obere? Ablesen aus dem Bild. Strukturiert aufschreiben (als konkrete Antwort auf meine Frage), nicht als langen geschwurbelten Satz.
Integrieren kommt erst danach.
  ─   mikn 06.10.2021 um 12:32

Ok, danke..
Dann komme ich auf folgenden Grenzen:
Im Bereich von x=-2 bis x=0 für dy: Untergrenze -2-x und Obergrenze Wurzel(4-x^2)

Im Bereich x=0 bis x=2 für dy: Untergrenze -2+x und Obergrenze 2-x

Stimmt das jetzt? Muss ich also mit zwei Doppelintegralen hier arbeiten und die Endergebnisse addieren?

Dx würde dann einmal von Untergrenze-2 Obergrenze 0

Und einmal von Untergrenze 0 Obergrenze 2
  ─   xaverhauer 06.10.2021 um 13:00

Alles ja. Dass man das Integral bei x=0 aufteilen muss, sagte ich schon vor 16 Std. (s.o.).
Und bei den Grenzen handelt es sich um die Grenzen für y. Ich fragte nach den Grenzen für y, nicht dy. Das Ablaufen des Bereichs hat erstmal mit Integrieren nichts zu tun (und braucht man u.U. auch für andere Anwendungen).
Wo war jetzt das Problem?
Geordnetes Vorgehen ist in der Mathematik essentiell. Du hast gleich am Anfang die Grenzen für das dy angegeben, dabei stehen die gar nicht in der Aufgabe (und waren ja auch falsch). Immer als erstes ne Skizze.
  ─   mikn 06.10.2021 um 13:15

Ok ja dann habe ich jetzt eeeeendlich alles verstanden 😍 danke...

Ja also ich hatte um ehrlich zu sein viele Probleme, erstens mal den IB zu skizzieren, dann zb auch noch dass ich hier aus einem Integral zwei machen kann usw usw... also habe viel dazugelernt
  ─   xaverhauer 06.10.2021 um 13:25

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Gut, freut mich.
Das Aufteilen des Integrals sollte man aber schon bei einfachen Integralen kennengelernt haben ("berechne den Flächeninhalt unter der Kurve.... , die durch Fallunterscheidung gegeben ist").
  ─   mikn 06.10.2021 um 13:33

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