N-te Wurzel von n! divergiert

Aufrufe: 119     Aktiv: 17.09.2022 um 19:10

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In einem Beispiel zum Konvergenzradius muss $n \rightarrow \infty$ für $\sqrt[n]{n!}$. Durch diverse Online-Rechner ist mir bekannt, dass $\sqrt[n]{n!}$ gegen $\infty$ geht, aber warum ist dem so? Kann man das ganze auch umschreiben, um es ein wenig trivialer darzustellen und zu verstehen?
Danke! :)
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2 Antworten
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Schreibe den Term mal um $\sqrt[n]{n!}=e^{\ln(\sqrt[n]{n!})}$. Dann versuche mal selbst durch umstellen weiterzukommen. Poste gerne deine Fortschrift falls du nicht mehr weiterkommst.

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Danke für die Antwort!
Ich schätze mal, danach schreibt man:
$e^{\ln(\sqrt[n]{n!})} = e^{\tfrac{\ln(n!)}{n}}$
Ich denke, dass $\ln(n!)$ schneller wächst, als $n$ und komme damit auf $e^{\infty}$, was wiederrum $\infty$ ist ...
Nur kann ich $\ln(n!)$ als "schneller wachsend" annehmen? Oder kann man das noch mathematischer zeigen? :)
  ─   yoshi 17.09.2022 um 14:49

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Ja das hast du richtig umgestellt. Ist dir auch klar, warum du so argumentieren kannst? Schreibe es nochmal sauber mit dem Limes auf! Du möchtest ja anscheinend sowas machen wie:
\[\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{n!}=\ldots =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} e^{\frac{\ln(n!)}{n}} \overset{?}{=} e^{\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \frac{\ln(n!)}{n}} =\ldots\]
Der Schritt über den man sich klar werden muss ist der mit dem ? über dem Gleichheitszeichen.
Ansonsten kannst du für das weitere Vorgehen den Hinweis von fix mit der Stirlingschen Formel nachgehen. Des Weiteren ist bei der Betrachtung von Grenzwerten mit $n!$ häufig eine der Abschätzungen $n^n\geq n! \geq (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$ hilfreich ist. Wenn dir beides nicht bekannt ist gibt es noch eine andere Möglichkeit zu argumentieren indem man die Fakultät ausschreibt und das Logarithmusgesetz verwendet.
  ─   maqu 17.09.2022 um 16:24

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Moin,
als Ergänzung zu maqu's Antwort würde ich noch hinzufügen, dass man, wenn man den \(\ln\) nimmt, auch noch Stirling's Näherungsformel für n! benutzen muss (kannst du kurz nachschlagen).  Alternativ könnte man auch folgende Abschätzung verwenden: \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...\ge \frac{n}{2}^{\frac{n}{2}}\). Damit kann man \(\sqrt[n]{n!}\) gut abschätzen.
LG
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Anmerkung: Auch beim Umweg über \(\ln\) \(\textit{muss}\) man Stirling natürlich nicht verwenden.   ─   orbit 17.09.2022 um 19:10

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