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Ja das hast du richtig umgestellt. Ist dir auch klar, warum du so argumentieren kannst? Schreibe es nochmal sauber mit dem Limes auf! Du möchtest ja anscheinend sowas machen wie:
\[\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{n!}=\ldots =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} e^{\frac{\ln(n!)}{n}} \overset{?}{=} e^{\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \frac{\ln(n!)}{n}} =\ldots\]
Der Schritt über den man sich klar werden muss ist der mit dem ? über dem Gleichheitszeichen.
Ansonsten kannst du für das weitere Vorgehen den Hinweis von fix mit der Stirlingschen Formel nachgehen. Des Weiteren ist bei der Betrachtung von Grenzwerten mit $n!$ häufig eine der Abschätzungen $n^n\geq n! \geq (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$ hilfreich ist. Wenn dir beides nicht bekannt ist gibt es noch eine andere Möglichkeit zu argumentieren indem man die Fakultät ausschreibt und das Logarithmusgesetz verwendet. ─ maqu 17.09.2022 um 16:24
\[\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{n!}=\ldots =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} e^{\frac{\ln(n!)}{n}} \overset{?}{=} e^{\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \frac{\ln(n!)}{n}} =\ldots\]
Der Schritt über den man sich klar werden muss ist der mit dem ? über dem Gleichheitszeichen.
Ansonsten kannst du für das weitere Vorgehen den Hinweis von fix mit der Stirlingschen Formel nachgehen. Des Weiteren ist bei der Betrachtung von Grenzwerten mit $n!$ häufig eine der Abschätzungen $n^n\geq n! \geq (\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}}$ hilfreich ist. Wenn dir beides nicht bekannt ist gibt es noch eine andere Möglichkeit zu argumentieren indem man die Fakultät ausschreibt und das Logarithmusgesetz verwendet. ─ maqu 17.09.2022 um 16:24
Ich schätze mal, danach schreibt man:
$e^{\ln(\sqrt[n]{n!})} = e^{\tfrac{\ln(n!)}{n}}$
Ich denke, dass $\ln(n!)$ schneller wächst, als $n$ und komme damit auf $e^{\infty}$, was wiederrum $\infty$ ist ...
Nur kann ich $\ln(n!)$ als "schneller wachsend" annehmen? Oder kann man das noch mathematischer zeigen? :)
─ yoshi 17.09.2022 um 14:49