Komplexe Wurzel

Aufrufe: 698     Aktiv: 24.02.2020 um 18:05

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Guten Abend zusammen, weiß jemand wie diese Gleichung zu lösen ist?

Ich bin für jede Art von Ansätze dankbar :)

Danke im Voraus!

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Student, Punkte: 56

 
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Hier musst du keine Wurzel ziehen, sondern potenzieren. Dies geht bei solch großen Exponenten mit der Exponentialform. Dazu rechnest du um.

\(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\sqrt{2}(-1+i)\)

\(-1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

Also:

\(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i=\sqrt{2}(\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}})=2e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

Jetzt noch potenzieren. Dazu das Potenzgesetz \((a^m)^n=a^{m*n}\) anwenden:

\(z=2^{30}*e^{i\frac{90\pi}{4}}=2^{30}e^{i\frac{\pi}{2}}\)

Da nach allen Lösungen gefragt ist, sind wahrscheinlich auch alle um \(2\pi\) rotierten Lösungen gefragt, also final

\(z=2^{30}e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi*k}~~~~~~~~~\text{mit}~~~~~~~~~k\in\Bbb{Z}\)

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Student, Punkte: 2.48K

 

Ich kann leider nicht ganz folgen :( welchen Ansatz hast du genau gewählt?   ─   FFD 24.02.2020 um 17:14

Umrechnen in Exponentialform und dann einfach ein Potenzgesetz angewendet   ─   vetox 24.02.2020 um 17:15

Der Begriff exponentialform sagt mir gerade nichts. Ist dies auch unter einem anderen Namen bekannt?
  ─   FFD 24.02.2020 um 17:28

Eulersche Form?   ─   vetox 24.02.2020 um 17:30

Die Eulersche Form sagt doch, dass e^(i*y) = cos (y) + i*sin(y) ist. Wobei hilft mir dies bei der Aufgabe?   ─   FFD 24.02.2020 um 17:34

Im Endeffekt ergibt sich folgendes (auf die Herleitung verzichte ich mal): Du kannst jede Komplexe Zahl \(z\in\Bbb{C}\) in algebraischer-/Normalform darstellen, also z.B. \(z=1+2i\). Wenn du diese Zahl in die Komplexe Ebene einzeichnest, gehst du eine Einheit entlang der reellen Achse und zwei Einheiten entlang der imaginären Achse. Die Zahl kannst du aber auch mit Hilfe eines Zeigers darstellen. Dieser Zeiger hat eine gewisse Länge , der Betrag der Zahl: \(|z|\). Dann brauchst du noch einen Winkel \(\varphi\). Dieser gibt an, wie der Zeiger (gegen den Uhrzeigersinn für positive Winkel) rotiert ist. Du kannst also jede Komplexe Zahl mit einem Betrag/Radius und einem Winkel angeben. Genau das passiert auch in der Eulerschen Form. Die Zahl \(z=i\) ist mit der Länge \(1\) vom Ursprung entfernt. Als Winkel ergibt sich (immer ausgehend von der Zahl \(z=1+0i\)) \(90°\) bzw. \(\pi /2\). Es gilt also \(z=0+i=1*e^{i*\pi /2}\) oder allgemein \(z=|z|*e^{i*\varphi}\). Du musst also deine Zahl in Eulerscher Form darstellen, denn hier kannst du ganz einfach die Potenzgesetze anwenden.   ─   vetox 24.02.2020 um 17:40

Ok Danke, dass habe ich nun verstanden. Doch in der Musterlösung ist angegeben, dass die einzige Lösung
z= 2^30 * i sei.
  ─   FFD 24.02.2020 um 17:51

Das ist korrekt. Bzw unter Beachtung der Mehrdeutigkeit komplexer Zahlen auch alle im zwei Pi rotierten Lösungen.   ─   vetox 24.02.2020 um 17:53

Ich habe grad gerechnet und komme auf das Ergebnis
z = 2^30 * e^((45*pi)/2 *i). und wie schreibe ich das jetzt um?
  ─   FFD 24.02.2020 um 17:57

So oft \(2\pi\) vom Winkel abziehen, bis du ein netteres Ergebnis bekommst. Wenn du einen Taschenrechner verwenden darfst, kannst du es natürlich auch einfach in den Sinus und Kosinus einsetzen   ─   vetox 24.02.2020 um 18:00

\(\frac{45\pi}{2}-11*2\pi=\frac{\pi}{2}\)   ─   vetox 24.02.2020 um 18:03

Also:
z = 2^30 * e^pi/2 *i = 2^30 * ( cos(pi/2) + i sin(pi/2)) = 2^30*i ?
  ─   FFD 24.02.2020 um 18:03

Korrekt   ─   vetox 24.02.2020 um 18:04

Ich Danke dir für deine Mühe! :)   ─   FFD 24.02.2020 um 18:04

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