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Hier haben sich einige Fehler versteckt. Die Induktionsvoraussetzung (bei dir IB normalerweise schreibt man IV) gilt für n, also \(\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-1\). Der Laufindex ist i und der muss auch in der Summe verwendet werden, sonst addierst du nicht \(2^1+2^2+ ....+2^n\), sondern \(2^n+2^n+....+2^n\).
Im Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass das Ganze für n+1 gilt. Das hast du im großen und ganzen richtig gemacht, bis auf den Laufindex bei der Summe. Und es muss natürlich genau so rauskommen, wie du geschrieben hast. Wenn du in \(2^{n+1}\) das n durch n+1 ersetzt, steht dann da \(2^{n+1+1}=2^{n+2}\). Woll sollte das 2n herkommen?
Im Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass das Ganze für n+1 gilt. Das hast du im großen und ganzen richtig gemacht, bis auf den Laufindex bei der Summe. Und es muss natürlich genau so rauskommen, wie du geschrieben hast. Wenn du in \(2^{n+1}\) das n durch n+1 ersetzt, steht dann da \(2^{n+1+1}=2^{n+2}\). Woll sollte das 2n herkommen?
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lernspass
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Ah, jetzt habe ich deinen Fehler entdeckt \(2^{n+1}+2^{n+1}=2\cdot2^{n+1}=2^{1+n+1}=2^{n+2}\). Potenzgesezte richtig anwenden.
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lernspass
29.10.2021 um 11:00
Aber 2*2 =4 und nicht 2 ?
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anonym3630b
29.10.2021 um 11:21
Hab’s verstanden.
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anonym3630b
29.10.2021 um 11:23
Stimmt mein Induktionsbeweis jetzt? (Siehe oben) und kannst du mir bitte nochmal erklären wann man i und wann n schreibt bei der summenformel bzw warum es nicht 2^n heißt sondern 2^i weil i=0 und geht bis n deshalb macht 2^n für mich mehr Sinn
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anonym3630b
29.10.2021 um 11:28
Sieht viel besser aus. Beim Induktionsschluss hätte ich das so geschrieben \(S_{(n+1)}=\sum_{i=0}^{n+1}2^i=\sum_{i=0}^{n}2^i + 2^{n+1}\).
Die Zeile mit dem \(4^{n+1} -1\) würde ich weglassen oder da die Klammer auflösen und umsortieren \(2^{n+1}+2^{n+1}-1\). ─ lernspass 29.10.2021 um 11:49
Die Zeile mit dem \(4^{n+1} -1\) würde ich weglassen oder da die Klammer auflösen und umsortieren \(2^{n+1}+2^{n+1}-1\). ─ lernspass 29.10.2021 um 11:49
Ich weiß ehrlich gerade nicht, wie ich es dir anders mit dem i und dem n erklären soll als so, wie ich es oben schon gemacht habe.
\(\sum_{i=0}^4i\) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 wohingegen
\(\sum_{i=0}^44\) = 4 + 4 + 4 +4 + 4
Ich habe hier einfach mal für n die Zahl 4 gewählt und nicht das n dahin geschrieben.
Die Summe hat genau so viele Summanden, wie Ende - Anfang + 1 dran steht. Und die Summanden selber werden dadurch bestimmt, was in der Summe steht. ─ lernspass 29.10.2021 um 11:54
\(\sum_{i=0}^4i\) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 wohingegen
\(\sum_{i=0}^44\) = 4 + 4 + 4 +4 + 4
Ich habe hier einfach mal für n die Zahl 4 gewählt und nicht das n dahin geschrieben.
Die Summe hat genau so viele Summanden, wie Ende - Anfang + 1 dran steht. Und die Summanden selber werden dadurch bestimmt, was in der Summe steht. ─ lernspass 29.10.2021 um 11:54
\(\sum_{i=0}^n2^n = 2^n+2^n+....+2^n=(n+1) \cdot 2^n\)
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lernspass
29.10.2021 um 11:57
Ja dein bespiel versteh ich, es hat mich nur verwirrt wenn es 2 variablen gibt 😅
Das heißt man nimmt immer die variable die unten an dem summenzeichen steht?
─ anonym3630b 29.10.2021 um 11:59
Das heißt man nimmt immer die variable die unten an dem summenzeichen steht?
─ anonym3630b 29.10.2021 um 11:59
Ja genau. Das nennt man den Laufindex. Es kann aber auch Summen geben, wo der Laufindex nicht in der Summe auftaucht. Siehe meine Beispiele. Diese Summen sind auch korrekt, es kommt halt etwas anderes raus.
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lernspass
29.10.2021 um 12:03
Alles klar vielen Dank!
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anonym3630b
29.10.2021 um 14:14
Aber am Ende kommt doch jetzt bei mir 2^n+2 -1 raus aber ich musste doch zeigen dass 2^n+1-1 rauskommt?
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anonym3630b
31.10.2021 um 12:31
Nein, es muss \(2^{n+2}-1\) rauskommen für n+1. Für n kommt ja \(2^{n+1}-1\) raus. Wenn du auf der rechten Seite das n durch n+1 ersetzt, kommt doch \(2^{n+1+1}-1\) raus.
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lernspass
31.10.2021 um 14:44
Alles klar, also kann ich es so stehen lassen?
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anonym3630b
31.10.2021 um 16:07
Darauf hatte ich dir schon geantwortet. Siehe weiter oben "Sieht viel besser aus..." ;)
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lernspass
01.11.2021 um 08:31