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wie kann man das folgende Problem lösen?

 

Aufgabe:

In dem Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) sei der Unterraum \( U \) gegeben, der von den beiden Vektoren
$$ \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right) \text { und }\left(\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ -27 \end{array}\right) $$
erzeugt wird.

 

Gibt es auch eine lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \) die \( U \) als Kern hat? Die Antwort ist ebenfalls zu begründen.

 

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Ich denke es hat mit dem Rangsatz bzw. Dimensionsatz zu tun, aber ich weiß nicht genaz, wie ich diese prüfen soll.

In diesem Fall ist dim(A)= 3 und dim(kern(A))=2 und das habe ich schon verstanden.

Wie soll ich jetzt weiter gehen?

 

Ich hoffe auf Ihre Antwort.

gefragt 6 Monate, 2 Wochen her
you28say
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3 Antworten
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Am besten charakterisiert man die gesuchte lin Abbildung mit einer Darstellungsmatrix. Diese ist eine \(2\times 3\)-Matrix, weil vom \(\mathbb{R}^3\) in den \(\mathbb{R}^2\) abgebildet wird.

Also ist die Matrix von der Form \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}\).

Jetzt erhält man zwei Bedingungen \(A\cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) und \(A\cdot \begin{pmatrix}4\\7\\-27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\).

Das sind vier Gleichungen bei sechs Unbekannten.

Um zu garantieren, dass der Kern nur von den beiden gegebenen Vektoren aufgespannt wird, kann man sich einen beliebigen Vektor \(v\in\mathbb{R}^3\) wählen, der nicht im Spann der beiden liegt und setzt

\(A\cdot v=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix},\)

wobei \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\) beliebig gewählt sind und erhält zwei weitere Bedingungen.

Damit sollte sich die Darstellungsmatrix einer lin Abbildung mit gesuchten Eigenschaften ermitteln lassen.

geantwortet 6 Monate, 2 Wochen her
mathe.study
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der letzte Vektor, der mit A multipliziert wird, sollte nicht (3,-1,4)^T sein, sondern wie im Text geschrieben...   ─   mikn 6 Monate, 2 Wochen her

Danke für die Anmerkung - habe es korrigiert.   ─   mathe.study 6 Monate, 2 Wochen her

vielen Dank für Ihre Antwort.
Ich habe die vier Gleichungen bei sechs Unbekannten

3a11- a12 + 4a13=0
3a11- a15 + 4a16=0

4a14 - 7a12 - 27a13=0
4a14 - 7a15 - 27a16=0

aber ich weiß jetzt nicht, wie ich den Kern bestimmen soll.
Es wäre nett, wenn Sie die Nebenrechnung bzw. den Schritt zeigen.

Ich hoffe auf Ihre weitere Antwort.
  ─   you28say 6 Monate, 2 Wochen her

Ich hab das in meiner Antwort unten erklärt. Da steht genau wie man A aufstellen kann (aber die Aufgabe verlangt es nicht). Und es geht ohne Gleichungssysteme ganz einfach. Bei Rückfragen gerne nochmal melden.   ─   mikn 6 Monate, 2 Wochen her
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Ein einfacher Weg zur Darstellungsmatrix A (2x3):

Die beiden Zeilen von A müssen senkrecht auf den beiden Vektoren (3,-1,4)^T und (4,7,-27)^T stehen. Da diese beiden Vektoren lin. unab. sind gibt es (bis auf vielfache) nur einen Vektor, der das erfüllt (also als Zeile in Frage kommt). Einen solchen kann man mit dem Kreuzprodukt ausrechnen (aber wir wollen nur das tun, was in der Aufgabe steht...). Diesen Vektor (das Kreuzprodukt) schreibt man zweimal als Zeile untereinander und hat eine Matrix A. Diese hat den Rang 1 (so sollte es nach Dimensionssatz auch sein).. Jeder Vektor aus dem Kern muss senkrecht auf diesem Zeilenvektor stehen, Es gibt aber im R^3 nur (bis auf vielfache) nur zwei lin. unabh., die das tun. Da wir schon zwei haben (die beiden U aufspannenden), kann es keinen weiteren aus U geben. Also kern A= U.

geantwortet 6 Monate, 2 Wochen her
mikn
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Da hier nur nach der Existenz gefragt wird, kann man den Beweis auch nicht-konstruktiv führen und sich auf diese Weise etwas Rechenarbeit sparen.

Man überprüft leicht, dass die Vektoren \( \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -27\end{pmatrix} \) linear unabhängig sind. Sie lassen sich somit durch einen Vektor \(v \in \mathbb{R}^3\) zu einer Basis des \( \mathbb{R}^3 \) ergänzen. Nun ist durch \( \phi \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \phi \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -27 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \phi(v)= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) auf eindeutige Weise eine lineare Abbildung \( \phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) charakterisiert, die offensichtlich \(U\) als ihren Kern besitzt.

geantwortet 6 Monate, 2 Wochen her
anonym
Student, Punkte: 4.51K
 

Vielen Dank für Ihre Antwort.

Ich habe noch eine Frage.
Woher kommt es jetzt ϕ(v) =(1 0) und wie kann ich es bestimmen?
  ─   you28say 6 Monate, 2 Wochen her

Ich hab als das Bild von \(v\) einfach irgendeinen Vektor gewählt, der nicht Null ist. Dass ich mich für den Vektor \( (1 \ 0 )^T \) entschieden habe, ist Zufall.
Das \(v\) und das \( \phi \) musst du gar nicht bestimmen. Du solltest ja nur zeigen, dass es eine Abbildung mit Kern \( U \) gibt und dafür musst du nicht wissen, wie die Abbildung genau aussieht.
  ─   anonym 6 Monate, 2 Wochen her

Du setzt die Werte der Basisvektoren einfach fest. So definierst du dir auf eindeutige Weise eine lineare Abbildung.   ─   anonym 6 Monate, 2 Wochen her
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