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Das dürfte prinzipiell so hinkommen.
Ist \(\pi_S\) die kanonische Projektion auf \(S\), dann wird nach deiner Definition die Produkt-Sigma-Algebra durch \[\bigcup_{S\subseteq I\atop |S|<\infty} \{ \pi_{S}^{-1}(B)\, | \, B=\prod_{i\in S}B_{i},\, B_{i}\in \mathcal{E} \}\]
erzeugt.
Für die Messbarkeit reicht es daher aus ein bel. \(\pi_{S}^{-1}(B)\) zu betrachten.
Da es eine Familie von messbaren ZV ist, ist auch
\[X^{-1}(\pi_{S}^{-1}(B))=\bigcap_{i\in S}X^{-1}(\pi_{i}^{-1}(B_{i}))=\bigcap_{i\in S}\underbrace{X_{i}^{-1}(B_{i})}_{\in \mathcal{F}}\in \mathcal{F}\]
also messbar.
Ist \(\pi_S\) die kanonische Projektion auf \(S\), dann wird nach deiner Definition die Produkt-Sigma-Algebra durch \[\bigcup_{S\subseteq I\atop |S|<\infty} \{ \pi_{S}^{-1}(B)\, | \, B=\prod_{i\in S}B_{i},\, B_{i}\in \mathcal{E} \}\]
erzeugt.
Für die Messbarkeit reicht es daher aus ein bel. \(\pi_{S}^{-1}(B)\) zu betrachten.
Da es eine Familie von messbaren ZV ist, ist auch
\[X^{-1}(\pi_{S}^{-1}(B))=\bigcap_{i\in S}X^{-1}(\pi_{i}^{-1}(B_{i}))=\bigcap_{i\in S}\underbrace{X_{i}^{-1}(B_{i})}_{\in \mathcal{F}}\in \mathcal{F}\]
also messbar.
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orbit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 690
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