Moin,
wenn du die DI Methode benutzen willst, solltest du dir klar machen, weshalb sie funktioniert. Für partielle Integration gilt: \(\int u(x)\cdot v'(x) dx=u(x)\cdot v(x)-\int u'(x)\cdot v(x) dx\). Das Verfahren kann man jetzt iterieren, indem man \(f(x)=u'(x)\) und \(g'(x)=v(x)\) sein lässt. Dann erhält man \(\int u(x)\cdot v'(x)dx=u(x)\cdot v(x)-(u'(x)\cdot \int v(x)dx-\int (u''(x)\cdot \int v(x))dx)\). Wie du siehst muss man diesen Prozess solange durchführe, bis man das letzte (ganz rechte) Integral lösen kann. Wenn du dir also deine Tabelle aufstellst mit D I und deinen Funktionen musst du immer die Diagonalen nehmen, mit Vorzeichen addieren und solange die Tabelle fortführen, bis du das Produkt eiiner Zeile integrieren kannst. Das kann bei guter Wahl von \(u(x)\) und \(v(x)\) früher passieren, auf jeden Fall passiert es aber, sobald ein Zeileneintrag 0 ist, denn dann ist das Produnkt ebenfalls 0 und das Integral eine Konstante. 
Bei deinem Beispiel A muss man die Tabelle nicht bis 0 durchziehen, man kann sie auch schon nach der zweiten Zeile beenden, da wir \(1\cdot \sin(x)\) integrieren können. Genau das gleiche auch bei B, du kannst nach der zweiten Zeile aufhören, kannst aber auch noch die dritte machen, die Nullzeile.
LG