Ja, das ist der richtige Ansatz. Versuch mal, nach \(n\) aufzulösen. Wenn du dabei Schwierigkeiten hast, kannst du dich gern nochmal melden.

Bearbeitet, um auf den Kommentar und die Rechnungen einzugehen: Bei dem drittletzten Schritt auf der ersten Seite ist irgendwas schiefgegangen. Das erste Produkt müsste \(4x^2n^2x^{n-2}\) sein. Ich mach mal von der Zeile darüber weiter. Ganz so viel ausmultiplizieren musst du nämlich gar nicht, da kannst du schon wieder anfangen, Terme zusammenzufassen. Wenn du bei dem Schritt noch die Potenzen in jedem Summanden zusammenfasst, kommst du auf

\begin{align}0&=4n(n-1)x^n\sin x+8nx^{n+1}\cos(x)-4nx^n\sin x-4x^{n+1}\cos(x)+3x^n\sin x\\&=\Big(4n(n-1)-4n+3\Big)x^n\sin x+\Big(8n-4\Big)x^{n+1}\cos x.\end{align} Dieser Ausdruck ist nur dann für alle Zahlen gleich 0, wenn die beiden großen Klammern 0 ergeben. Du musst also einen Wert für \(n\) finden, sodass $$4n(n-1)-4n+3=0=8n-4.$$ Zum Glück gibt es tatsächlich ein \(n\), dass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt, sodass alles aufgeht. (Welches das ist, darfst du noch selber ausrechnen - jetzt ist es nicht mehr schwer)