Konvergenzradius und -bereich einer Potenzreihe mit einer Folge bestimmen

Aufrufe: 626     Aktiv: 08.05.2021 um 15:25
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Hey,

ich habe eine Frage bezüglich folgender Aufgabe


In der Musterlösung wird der Konvergenzradius für den Fall der Potenzreihe genommen, wenn n gerade ist. (s. Abbildung)


 

Warum wird nicht der Konvergenzradius der Potenzreihe für denn Fall, wenn n = ungerade ist auch betrachtet? Der wäre ja r = 1?
Hat das mit den Cauchy-Produkt von zwei Potenzreihen zu tun? Also, dass man nur noch den Konvergenzbereich betrachtet, für den die Potenzreihen mit den "beiden unteschiedlichen" Folgen bn n = ungerade und bn = n gerade, am minimalsten ist damit in beiden Fällen die Potenzreihe aufjedenfall konvergiert und es möglich ist eine Summenfunktion zu bilden?

Ich bedanke mich im voraus und freue mich auf eine Rückmeldung.

Valentin

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Mit dem Cauchy-Produkt hat das nichts zu tun. Aber das, was Du hinter dem "Also,..." schreibst, das stimmt genau. Für Konvergenz müssen beide "Teil"-Reihen,  konvergieren, also muss für x die strengere der beiden Bedingungen erfüllt sein, d.h. es zählt der kleinere Konvergenzradius der beiden berechneten Konvergenzradien. Wir haben ja \(\sum\limits_{n=1}^\infty = \sum\limits_{n\text{ gerade}} + \sum\limits_{n\text{ ungerade}}\)
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Oh okay, das habe ich begrifflich wohl verwechselt.

Vielen Dank für die Erläuterung!   ─   maths123 08.05.2021 um 15:24

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