Links- Rechtsseitiger Grenzwert

Aufrufe: 39     Aktiv: 07.02.2021 um 23:53

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Linksseitiger Grenzwert:

Rechtsseitiger Grenzwert:

Wie wurde hier jeweils umgeformt?

Ist -1/x^2 nicht eine Nullfolge?

Danke!

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Du schätzt in deiner ersten Gleichung nach oben ab, indem der Zähler größer wird. Das mag zuerst verwirren, da wenn man \(x\) weglässt der Term im Zähler vermeidlich kleiner wird. Unter dem Limes steht aber, dass \(x<0\) also negativ sein soll, wodurch der Zähler durch weglassen von \(x\) "weniger negativ" also größer wird.

Bei deiner zweiten Gleichung betrachtest du ebenfalls den eingeschränkten Bereich des \(x\) unter dem Limes. Es gilt also:
\(0<x<\frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 0-1<x-1<\frac{1}{2}-1\quad \Leftrightarrow \quad -1<x-1<-\frac{1}{2}\). 
Somit kannst du also deinen Zähler durch \(-\frac{-1}{2}\) nach oben abschätzen. Für deinen gesamten Ausdruck wird die 2 dann bloß in den Nenner geschrieben. Also:
\(\dfrac{x-1}{x^2} <\dfrac{-\frac{1}{2}}{x^2} =\dfrac{-1}{2x^2}\)

Zu deiner letzten Frage, ja \(\dfrac{-1}{n^2}\) bzw \(\dfrac{-1}{2n^2}\) sind Nullfolgen. Aber man betrachtet hier nicht den Grenzwert gegen unendlich (\(\infty\)), sondern gegen Null. Also \(\underset{x\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{-1}{2x^2}=0\) wäre richtig, aber es soll der Grenzwert für \(x\longrightarrow 0\) berachtet werden und damit gilt \(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{-1}{2x^2}=-\infty\)


Hoffe das hilft dir weiter.
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