Wir machen gerade die Taylorpolynome und natürlich damit auch die Restglieder. Als Beispiel hat mein Professor für die Kosinusfunktion die Taylorpolynome 3. Grades im Punkt \( x_0=0 \) ermittelt und schreibt:
$$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}\cos(\xi), \quad \text{für ein } \xi\in(0,1)$$
$$\Longrightarrow \left| \cos(x)-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\right|\leq \left|\frac{x^4}{4!}\cos(\xi)\right|$$

Das ist natürlich nur ein Ausschnitt, aber hier ist alles Wichtige drin. Meine Frage ist: woher kommt plötzlich die Ungleichung \( \leq \)? Ich weiß, dass man beim Restglied immer den Betrag nimmt, weil es mich ja nicht kratzt, ob ich nach oben oder nach unten abweiche. Aber grob wird ja aus:
\( \qquad \)Funktion = Taylor + Restglied
\( \Longleftrightarrow \) |Funktion - Taylor| \( \leq \) |Restglied|

Wieso kann ich einfach eine Ungleichung erzeugen?
Ich hätte die Ungleichung halt erst im nächsten Schritt gemacht, wenn ich das \( \cos(\xi) \) nach oben (1) abschätze. Also ich hätte gemacht:
\( \qquad \)Funktion = Taylor + Restglied
\( \Longleftrightarrow \) |Funktion - Taylor| = |Restglied| \( \leq \) |Restglied ohne das cos|

Kann jemand Ordnung in meine Gedanken bringen?