Taylorpolynome, Abschätzung Restglied

Aufrufe: 52     Aktiv: 08.07.2021 um 10:44

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Wir machen gerade die Taylorpolynome und natürlich damit auch die Restglieder. Als Beispiel hat mein Professor für die Kosinusfunktion die Taylorpolynome 3. Grades im Punkt \( x_0=0 \) ermittelt und schreibt:
$$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}\cos(\xi), \quad \text{für ein } \xi\in(0,1)$$
$$\Longrightarrow \left| \cos(x)-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\right|\leq \left|\frac{x^4}{4!}\cos(\xi)\right|$$

Das ist natürlich nur ein Ausschnitt, aber hier ist alles Wichtige drin. Meine Frage ist: woher kommt plötzlich die Ungleichung \( \leq \)? Ich weiß, dass man beim Restglied immer den Betrag nimmt, weil es mich ja nicht kratzt, ob ich nach oben oder nach unten abweiche. Aber grob wird ja aus:
\( \qquad \)Funktion = Taylor + Restglied
\( \Longleftrightarrow \) |Funktion - Taylor| \( \leq \) |Restglied|

Wieso kann ich einfach eine Ungleichung erzeugen?
Ich hätte die Ungleichung halt erst im nächsten Schritt gemacht, wenn ich das \( \cos(\xi) \) nach oben (1) abschätze. Also ich hätte gemacht:
\( \qquad \)Funktion = Taylor + Restglied
\( \Longleftrightarrow \) |Funktion - Taylor| = |Restglied| \( \leq \) |Restglied ohne das cos|

Kann jemand Ordnung in meine Gedanken bringen?
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Student, Punkte: 254

 

Vermutlich hast du dir da was falsches aufgeschrieben, die Ungleichung gilt nicht für alle x, bei \(\zeta -> 1\) sogar für keine x>0...   ─   fix 07.07.2021 um 18:09
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Die Darstellung der Kosinusfunktion ist ein Polynom 2. Grades und der letzte Term ist das Restglied in Lagrangescher Form. Darin ist das \(\xi\) ein unbekannter Wert, der irgendwo zwischen der Entwicklungstelle x0 und dem interessierenden Wert x liegt. Die obige Beschränkung dieser Wertes auf das Intervall (0,1) bedeutet daher, das nur x-Werte aus diesem Intervall untersucht werden sollen. Bei der Restgliedabschätzung muß für \(\xi \) stets der "ungünstigste Fall" gewählt werden. Hier alsoder Fall das der Kosinus 1 wird.
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