Wohlgestelltheit eines Problems

Aufrufe: 178     Aktiv: 24.10.2023 um 20:52

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Hallo,
ich soll untersuchen ob/wann das gegebene Problem wohlgestellt ist. 
meine Idee ist nun, zu zeigen, dass:
1. Das Problem eine Lösung hat 
2. das Problem genau eine Lösung hat 
3. das Problem sich stetig mit den Eingangsdqten ändert. 


mein Problem ist die mathematische Schreibweise bzw. Beweisführung. 


EDIT vom 23.10.2023 um 19:00:

Das wäre nun meine Idee. Bei 3. ist wahrscheinlich x und y falsch. Ich denke das sollte dann x und d heißen, bin aber nicht sicher. 


EDIT vom 24.10.2023 um 15:35:

das ist meine Idee zu 2b)

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Student, Punkte: 42

 
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Deine Idee ist ja richtig, aber Du kannst es unter den gegebenen Voraussetzungen nicht nachweisen. Daher lautet die Aufgabe ja auch nicht "zeigen Sie, dass das Problem wohlgestellt ist", sondern "prüfen Sie, ob bzw. unter welchen Voraussetzungen es wohlgestellt ist". Also?
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.49K

 

Verstehe. Aber wie kann ich das denn überprüfen? Die Existenz der Lösung ist ja klar. Ich sage einfach es existiert ein x aus (a,b) mit f(x)=d. Für die Eindeutigkeit wollte ich prüfen ob aus f(x1)=f(x2) folgt x1=x2. Da wüsste ich aber nicht wie ich das nachweise oder widerlegen kann.   ─   user99d9d1 23.10.2023 um 18:36

Lies doch meine Antwort nochmal genau. Du hast die Aufgabe noch nicht verstanden. Es geht nicht um nachweisen oder widerlegen.   ─   mikn 23.10.2023 um 18:39

Naja aber die Aufgabe ist, dass ist untersuchen soll ob das Problem wohlgestellt ist. Reicht es dann zu schreiben "wenn 1-3 gilt (Existenz, Eindeutigkeit, stetige änderung), dann ist das Problem wohlgestellt?
Ansonsten wüsste ich nicht wie ich es überprüfen kann.
  ─   user99d9d1 23.10.2023 um 18:43

Es steht dort "ob/wann", nicht "ob". Deine Antwort sollten vollständige Sätze sein, und nicht nur Begriffe nennen, sondern Bedingungen an f formulieren.   ─   mikn 23.10.2023 um 18:50

Ich habe nun meine Idee oben aktualisiert   ─   user99d9d1 23.10.2023 um 19:00

1. ist ok. 2. Dafür gibt es eine Bezeichnung. 3. Hast Du geprüft, ob das hier erfüllt ist oder als Zusatzbedingung genannt werden muss?   ─   mikn 23.10.2023 um 19:06

2. Injektiv
3. schau ich mir heute Abend oder morgen an und melde mich dann noch einmal.
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe!
  ─   user99d9d1 23.10.2023 um 19:10

2. "f ist injektiv auf (a,b)" (vollständige Sätze formulieren!)   ─   mikn 23.10.2023 um 19:14

zu 3.: da bin ich noch total unsicher. Besagt 3. dass f stetig sein muss auf (a,b)?
Ich verstehe es so, dass d den Eingangsdaten entspricht und x die Lösung ist. Dann ist die Frage, wie sich x ändert wenn sich d ändert.
Da f injektiv ist, ist f auch streng monoton. Allerding können ja trotzdem unstetige Stellen auftreten.
Ich hoffe, du kannst mir hier nochmal weiterhelfen.
  ─   user99d9d1 24.10.2023 um 09:18

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Du hast schon die richtigen Ideen zusammen. Und es ist bei solchen Aufgaben (wie bei vielen in der Numerik) hilfreich, in Begriffen wie input-output zu denken.
Fassen wir mal zusammen:
1. $d\in f((a,b))$ ($d$ muss aus der Bildmenge sein).
2. $f$ muss auf $(a,b)$ injektiv sein.
1. und 2. zusammen bedeuten, dass $f:(a,b)\longrightarrow f((a,b))$ bijektiv ist.
Dass $f$ stetig ist, ist in der Aufgabe schon vorausgesetzt ("$f\in C^1(a,b)$"). (Damit ist, das nur nebenbei, $f((a,b))$ auch ein Intervall).
Aus stetig und injektiv folgt streng monoton (nicht aus injektiv alleine!).
Und aus einem Satz der Vorlesung (war bestimmt da) folgt die Stetigkeit der Umkehrfunktion, das ist die Bedingung 3. (Output hängt stetig vom Input ab).
Unter diesen Gegebenheiten ist die Anforderung, um Wohlgestelltheit des Problems zu garantieren, nur $d\in f((a,b))$ und $f$ injektiv auf $(a,b)$ (weil 3. dann automatisch gegeben ist).
  ─   mikn 24.10.2023 um 11:22

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Ich habe oben noch Teil b ergänzt. Passt das so?   ─   user99d9d1 24.10.2023 um 15:34

Du hast die Formel schon richtig angewendet, aber es sollte noch irgendwo $f(x)=d$ stehen, und dann vor allem: wieso sollte der eine Bruch =1 sein? Und für die Antwort zu b) ist es unschön, wenn dort $x$ drin vorkommt (weil man das ja nicht kennt). Es sollte nur in Abhängigkeit von $f$ und $d$ formuliert werden (auch wenn darin dann $f^{-1}(d)$ vorkommt, was ja wieder $x$ ist).   ─   mikn 24.10.2023 um 20:52

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