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Wenn \(\gamma(t)=\pmatrix{x(t)\\z(t)}\), \(t\in(a,b)\), die Kurve ist, dann ist \(p(t,\varphi):=\pmatrix{x(t)\\z(t)\sin\varphi\\z(t)\cos\varphi}\), \((t,\varphi)\in (a,b)\times(-\pi,\pi)\), die Parametrisierung eines Teils der Rotationsfläche. Ob der zugehörige Normalenvektor (das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen von \(p\)) nach Innen oder Außen zeigt, hängt davon ab, in welche Richtung \(\gamma\) durchlaufen wird. Überlege es Dir mit der Dreifingerregel anhand der partiellen Ableitungen von \(p\). Und vergiss nicht, dass Du zwei Parametrisierungen benötigst, um die Rotationsfläche ganz zu überdecken.
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slanack
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Dein \(\gamma\) entspricht ja genau meiner Darstellung einer Kurve in der \(x,z\)-Ebene, nur dass ich die \(y\)-Koordinate weggelassen habe. Im Ergebnis macht das keinen Unterschied.
Die beiden partiellen Ableitungen der Parametrisierung liefern eine Basis für den Tangentialraum (es gibt nicht *die* zwei Tangentialvektoren, sondern unendlich viele!).
Es gibt nicht *den* Normalenvektor, sondern unendlich viele, nämlich den Normalenraum. Eine Basis des Normalenraums findest Du, indem Du das Kreuzprodukt der zwei partiellen Ableitungen von \(p\) bildest. Es gibt genau zwei normalisierte Normalenvektoren, also mit der Länge \(1\). Berechne sie. Definiere, was "nach innen zeigen" bedeuten soll. Dann prüfe mit dieser Definition, welcher der beiden normalisierten Normalenvektoren nach innen zeigt. Fertig!
Ich verstehe immer noch nicht, was Du meinst, wenn Du davon sprichst, "beide Parameter also t und den der durch die Parametrisierung zustande kommt gleich 0 setzen bzw einer beliebigen Zahl". ─ slanack 10.11.2020 um 10:37
Die beiden partiellen Ableitungen der Parametrisierung liefern eine Basis für den Tangentialraum (es gibt nicht *die* zwei Tangentialvektoren, sondern unendlich viele!).
Es gibt nicht *den* Normalenvektor, sondern unendlich viele, nämlich den Normalenraum. Eine Basis des Normalenraums findest Du, indem Du das Kreuzprodukt der zwei partiellen Ableitungen von \(p\) bildest. Es gibt genau zwei normalisierte Normalenvektoren, also mit der Länge \(1\). Berechne sie. Definiere, was "nach innen zeigen" bedeuten soll. Dann prüfe mit dieser Definition, welcher der beiden normalisierten Normalenvektoren nach innen zeigt. Fertig!
Ich verstehe immer noch nicht, was Du meinst, wenn Du davon sprichst, "beide Parameter also t und den der durch die Parametrisierung zustande kommt gleich 0 setzen bzw einer beliebigen Zahl". ─ slanack 10.11.2020 um 10:37
Das Vorzeichen vor \(\sin\varphi\) hängt davon ab, wierum Du die Drehung in der \(y,z\)-Ebene hinschreibst. Andersherum bedeutet ja, \(\varphi\) durch \(-\varphi\) zu ersetzen. Das ergibt in \(\sin\varphi\) das andere Vorzeichen. Macht aber für die Rechnung keinen wesentlichen Unterschied.
─
slanack
10.11.2020 um 10:40
Welche Parameter möchtest Du Null setzen? Ohne konkretes Beispiel oder Formeln kann ich dazu nichts sagen. Die drei-Finger-Regel ist die richtige Technik; man kann es natürlich auch umständlicher machen. ─ slanack 09.11.2020 um 16:17