|v+w|=|v|+|w|

Aufrufe: 111     Aktiv: 02.05.2021 um 18:13

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Seien v,w \( \in \) E mit v \( \neq \)0 und w\( \neq \)0. 
Zeige, dass |v+w|=|v|+|w| genau dann gilt, wenn v= \( \lambda \)w für \( \lambda \in \)(0,\(  \infty \)).

Wo genau muss ich v= \( \lambda \)w für \( \lambda \in \)(0,\(  \infty \)) einbeziehen? Weil sei v und w ein Vektor ungleich 0, dann würde  |v+w|=|v|+|w| es ja nicht stimmen. 
z.B.: |v+(-w)|=|v|+|-w|
        |v-w|=|v|+|-w|
v=1
w=2
       |1-2|=|1|+|-2|
       1=3 und das wäre ja falsch. Kann mir jemand weiterhelfen?
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2 Antworten
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Hallo,

in deinem Beispiel ist \( \lambda = -2 \notin (0 , \infty) \). 

Was betrachtest du denn hier? Die Betragsfunktion oder allgemein eine Norm? 
Für beides gilt die sogenannte Dreiecksungleichung. Starte dort und zeige wann Gleichheit gilt. Setze dazu mal eure Definiton der Betragsfunktion oder der Norm ein. Diese Eigenschaft brauchst du dann erst ganz am Ende, wenn du guckst in welchen Fällen in der Ungleichung Gleichheit gilt. 

Grüße Christian
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||v+w||=||v||+||w||
v²+2vw+w²=v²+2||vw||+w²
2vw=2||vw||

So?
  ─   jessy234 01.05.2021 um 16:05

Sehr guter Anfang. Wichtig ist: Gleichungen nicht einfach untereinander schreiben, sondern \(\iff\)-Zeichen dazwischen, aber nur wenn es auch stimmt. Es ist ja hier ein Äquivalenz zu zeigen.
Wenn das erledigt ist, nächster Schritt: für vw gibt es einen Zusammenhandmit ||vw|| über einen Winkel, schau in Deinen Unterlagen nach.
  ─   mikn 01.05.2021 um 16:23

Gibt es dafür einen speziellen Begriff dafür? Kann leider nichts genaues finden.   ─   jessy234 01.05.2021 um 16:34

Hat keinen Namen, sollte bei den Formeln zum Skalarprodukt/zur Norm stehen.   ─   mikn 01.05.2021 um 16:44

Was ist denn mit "E" gemeint? Ist das eine Menge oder ein Vektorraum?   ─   peterpils 01.05.2021 um 16:48

Mit E meine ich den Vektorraum   ─   jessy234 01.05.2021 um 16:53

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\(w=\lambda v\Rightarrow |v+w|=|v+\lambda v|=(1+\lambda)|v|=|v|+\lambda |v|=|v|+|\lambda v|=|v|+|w| \)
\(\nexists \lambda:w=\lambda v \Rightarrow |v+w|<|v|+|w|\iff |v+w|\neq|v|+|w|\) Dreiecksungleichung
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Danke, aber soll ich nicht zeigen, dass genau das gilt und nicht das es nicht gilt?   ─   jessy234 01.05.2021 um 16:54

Macht gerdware doch. Du sollst zeigen, dass \( |v+w| = |v|+|w| \Leftrightarrow \exists \lambda : w=\lambda v\)
Die Richtung \(\Leftarrow \) zeigt gerdware in der ersten Zeile.
Die Richtung \(\Rightarrow \) in der Zweiten. Beachte, dass hierbei ein Beweis per Kontroposition verwendet wird. Anstatt \( A\Rightarrow B \) zu zeigen, kann man auch \( \lnot B\Rightarrow \lnot A \) zeigen.
  ─   cunni 01.05.2021 um 17:38

Vielen Dank an beide, für die Erklärung!   ─   jessy234 01.05.2021 um 19:27

Der obige Beweis kann so nicht stimmen. Warum gilt in der Rückrichtung die erste Folgerung? Sehe ich nicht.
Nach gerdwares Beweis müsste die Aussage zur Gleichheit für alle Normen gelten. Tut sie aber nicht: Z.B.: \(\binom10\) und \(\binom02\) ergibt Gleichheit in der 1-Norm, aber die \(\lambda\)-Bedingung ist nicht erfüllt.
  ─   mikn 01.05.2021 um 19:54

Du hast vollkommen Recht. Die untere Zeile von gerdware funktioniert nicht.
Ich habe jetzt mal trotzdem einen Beweis gemacht, weiß aber nicht, ob das nicht auch einfacher geht.
Es sei \( |v+w|=|v|+|w| \). Dann gilt
\[ |v|^2 + 2\langle v,w\rangle + |w|^2 = |v+w|^2=(|v|+|w|)^2 = |v|^2 + 2|v||w| + |w|^2 \]
Somit folgt \(\langle v,w\rangle = |v||w| \). Nun kann man entweder auf die Cauchy-Schwarze-Ungleichung verweisen und hat damit die lineare Abhängigkeit von \(v\) und \(w\). Oder man argumentiert mit der Formel \(\langle v,w\rangle = |v||w| \cos \sphericalangle(v,w)\). Denn jetzt muss der Cosinus \(1\) ergeben und damit sind \(v\) und \(w\) linear abhängig.
  ─   cunni 02.05.2021 um 16:59

Soweit war jessy234 auch schon. Siehe die Kommentare in Christians Antwort. Wie's weitergeht, hängt davon ab, was in der Vorlesung dran war, s.o. Linear abhängig reicht auch nicht, der Faktor muss positiv sein. Kürzer geht der Beweis wohl nicht.   ─   mikn 02.05.2021 um 17:11

Ok, der Großteil steht da auch schon aber ich möchte mit meinem Beweis trotzdem auf ein paar Sachen aufmerksam machen.
1.) \(v\) und \(w\) sind Vektoren. \(vw\) ergibt also keinen Sinn, ebenso wenig wie \(2||vw||\). Dieser Fehler sollte besser ausgeräumt werden.
2.) Man sollte die Betragsstriche nicht weglassen. \(v^2 \neq |v|^2 \)
3.) Man braucht Cauchy-Schwarze-Ungleichung, wenn es sich um einen allgemeinen Hilbertraum handeln soll. Der Beweis mit dem \(\cos \) ist nur für euklidische Vektorräume geeignet.
  ─   cunni 02.05.2021 um 17:24

Zu 1: vw ist durchaus richtig, ist das Skalarprodukt. \(\|vw\|\) rechts stimmt nicht, da hast Du recht, da sollte \(\|v\|\cdot \|w\|\) stehen, hatte ich übersehen.
Zu 2. Da fehlen nirgendwo Betragsstriche, es gilt durchaus \(v^2= \|v\|^2\).
Zu 3. Stimmt. Die Frage, was E ist, ist noch offen. Auf jeden Fall braucht man einen HR, ein normierter Raum reicht nicht.
  ─   mikn 02.05.2021 um 18:12

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