Komplexe Zahl in Exponential (Euler) Form

Erste Frage Aufrufe: 60     Aktiv: 09.02.2021 um 17:49

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Hey kann mir jemand diese Komplexe Zahl in die Euler Form umwandeln?

Hab immer ein anderes Ergenis wie die Lösung und bin jetzt unsicher. Danke




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Das Bild wird leider nicht angezeigt. Versuche, es nochmal hochzuladen.   ─   stal 09.02.2021 um 15:48

jetzt müsste es da sein oder   ─   michaa 09.02.2021 um 15:50

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3 Antworten
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Erstmal lösen wir die Klammer auf: \(z=-3\sqrt2-3\sqrt2i\) Wir wollen das jetzt in die Form \(z=re^{i\varphi}\) bringen, bekanntlich gilt $$r=\sqrt{(-3\sqrt2)^2+(-3\sqrt2)^2}=6$$ Weiter gilt \(\tan\varphi=\frac{-3\sqrt2}{-3\sqrt2}=1\), also \(\varphi=\frac\pi4\) oder \(\varphi=\frac{5\pi}4\). Da deine Zahl eindeutig im dritten Quadranten liegt, muss letzteres der Fall sein.
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achsoo natürlich das mit den zwei ergebnissen für φ war mein problem.. wieso war das nochmal so? und woher seh ich dass es im dritten liegt?   ─   michaa 09.02.2021 um 16:02

Der Tangens hat Periode \(\pi\), das heißt jeder Wert wird zweimal angenommen, wenn \(\varphi\) von \(0\) bis \(2\pi\) läuft. Deine Zahl hat negativen Real- und Imaginärteil, was die Zahlen im dritten Quadranten charakterisiert.   ─   stal 09.02.2021 um 16:05

achso stimmt jetzt kommts wieder vielen Dank!   ─   michaa 09.02.2021 um 17:31

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Du musst die 6 noch hereinmultiplizieren und erhälst dann \(a=-3\sqrt{2}\) als Realteil und \(b=-3\sqrt{2}\) als Imaginärteil. Dann berechnest du \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) uns \(\varphi=\tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right)\). Beachte, dass du nzwei \(\varphi\) als Lösung erhälst, aber das richtige wählen musst, dass im 3 Quadranten liegt. Damit kannst die Eulerform \(z=r\cdot e^{i\varphi}\) aufstellen.


Hoffe das hilft weiter.
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Es sollte \(\tan\varphi=\frac ba\) sein.   ─   stal 09.02.2021 um 15:55

ja hatte das hoch -1 vergessen ;D aber danke   ─   maqu 09.02.2021 um 15:57

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Das Ganze kann man auch im Kopf rechnen: Da Real- und Imaginärteil gleich sind und die Zahl im 3. Quadranten liegt muß der Winkel 225° sein. Da der Betrag r=6 ist, bist Du fertig. Schau einmal in die Lernplaylist Unterhaltsame Mathematik Kann man Wurzel im Komlexen im Kopf berechnen. Viel Spaß!
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ja macht schon sinn danke, hatte nur nicht mehr im kopf dass es im dritten liegen muss   ─   michaa 09.02.2021 um 17:49

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