Volumen schiefe Dreieckspyramide (Determinante)

Aufrufe: 39     Aktiv: 31.05.2021 um 13:45

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Hallo,

ich bin mir gerade unsicher wegen einer eigentlich banalen Sache. Welche Gleichung benötige ich, um das Volumen einer *schiefen* Dreieckspyramide mithilfe von Determinanten zu berechnen, wenn ich alle vier Punkte gegeben habe?

Das Volumen einer normalen Pyramide funktioniert ja mit Sicherheit nicht, da die Dreieckspyramide ja nur 4 Punkte besitzt und ich bin mir nicht sicher, ob die Tetraederformel funktioniert.

Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,

mit die Determinante gibt das Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Spats oder im allgemeinen des n-Parallelotops. 

In 3D können wir auch schreiben

$$ V =  |(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c |= \left| \mathrm{det}\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right| $$


Nun haben wir eine Dreiecksfläche als Grundfläche. Also brauchen wir nur die Hälfte der Grundfläche des Spates. 

Außerdem ist das Volumen einer Pyramide immer ein drittel des Volumes von einem Prisma mit der selben Grundfläche. Wir erhalten also insgesamt

$$ V = \frac 1 6 \mathrm{det} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} $$

Die Spaltenvektoren kannst du aus den gegebenen Punkten bestimmen. 

Grüße Christian
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