Da die Funktion differenzierbar ist, existiert $$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\in\mathbb R.$$ Das kann nur der Fall sein, wenn der Zähler gegen 0 geht. Versuch das selbst per Widerspruch zu zeigen. Daraus folgt sofort \(\lim_{y\to x_0}f(y)=f(x_0)\), also dass \(f\) in \(x_0\) (folgen-)stetig ist.