Gruppe f treuer Automorphismen

Aufrufe: 50     Aktiv: 08.05.2021 um 19:00

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Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. bin mir nicht sicher, ob meine Lösung richtig ist.

Aufgabe: Es seien \(n \in \mathbb{N}\) und \(V\) ein \(n\)-dimensionaler Vektorraum über einem Körper \(K\).
(a) Sei \(f: V^n \longrightarrow K\) eine \(n\)-Linearform. Zeigen Sie, dass
\(\qquad O(f):=\{L \in GL(V) | \ \ f(L(x_1), ..., L(x_n))=f(x_1, ..., x_n) \ für \space alle\  x_1, ..., x_n \in V  \}\)
mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

(b) Es gelte nun \(char(K)\neq 2\). Bestimmen Sie alle alternierenden \(n\)-Linearformen
\(\quad f:\ V^n \longrightarrow K\) mit \(O(f)=GL(V)\).


Mein Lösungsansatz: Ich weiß schon, dass \(GL(V)\), die Menge alle Automorphismen von V, mit der Komposition eine Gruppe bildet. Man müsste also nur zeigen, dass \(O(f)\) eine Untergruppe von \(GL(V)\) bildet. (U0) ist dann einfach zu zeigen, weil die Identität \(id \in GL(V)\) offensichtlich in \(O(f)\) liegt. Es gilt also \(O(f)\neq \varnothing\).
Probleme macht mir jetzt (U1). Hier müsste ich zeigen, dass für alle \(L_1, L_2 \in O(f)\) auch \(L_1 \circ L_2 \in O(f)\) gilt. Die Idee war, dass man \(L_1, L_2\) oBdA folgend definieren könnte:
\(\qquad L_1: V^n \longrightarrow K, x_i \mapsto x_i + y_i\qquad L_2: V^n \longrightarrow K, x_i\mapsto x_i+z_i, \qquad i=1,...,n\)
Der Grund dafür, dass man das so machen können müsste, ist einfach, dass \(L_1, L_2\) Automorphismen sind und daher entsprechende \(y_i, x_i \in K\) auf jeden Fall existieren.

Wenn nun \(L_1, L_2 \in O(f) \) gilt, dann folgt bspw. für \(L_1\):
\( f(L_1(x_1), ...,L_1(x_n))= f(x_1 +y_1,..., x_n +y_n)= f(x_1,..., x_n)+f(y_1, ...,y_n) \).
Wegen \(L_1 \in O(f)\) muss dann gelten \(f(y_1,...,y_n)=0\). Analog kann man dann zeigen, dass für \(L_2\) gelten muss: \(f(z_1,..., z_n)=0\).
Für  \(L_1 \circ L_2\) gilt dann:
\(f((L_1\circ L_2)(x_1),..., (L_1\circ L_2)(x_2))=f(L_1 (x_1+z_1),..., L_1 (x_n+z_n)) \\ \qquad = f(x_1+y_1+z_1,..., x_n+y_n+z_n  =f(x_1,...,x_n)+f(y_1,...,y_n)+f(z_1,...,z_n) \\ \qquad =f(x_1,..., x_n) \)
Damit gilt \(L_1 \circ L_2 \in O(f)\).
(U2) müsste dann einfach auf ähnliche Weise zu zeigen sein.

Meine Idee für (b) ist sehr rudimentär, weshalb ich die jetzt gar nicht mehr mit hochlade.

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Zur (a): Für ein \(L\in GL(V)\) gilt \(L:V\to V\), nicht \(L:V^n\to K\), wie du behauptet hast. Auch die Aussage, dass man einen Automorphismus durch \(x_i\mapsto x_i+y_i\) definieren kann, ist so nicht ganz richtig. Ich nehme mal an, dass die \(x_i\) eine Basis von \(V\) sein sollen, dann definiert das nur einen Isomorphismus, wenn \(x_i+y_i\) wieder eine Basis von \(V\) sind. Auch deine Behauptung \(f(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)=f(x_1,\ldots,x_n)+f(y_1,\ldots,y_n)\) ist falsch. Richtig wäre z.B. \(=f(x_1,x_2+y_2,\ldots,x_n+y_n)+f(y_1,x_2+y_2,\ldots,x_n+y_n)\), da \(f\) ja in jeder Koordinate linear sein soll. Du kannst das alles außeinander ziehen, aber dann hast du \(2^n\) Summanden und es ist nicht mehr klar, welche Voraussetzung an die \(y_i,z_i\) gestellt werden kann.

Aber eigentlich ist die Aufgabe viel einfacher lösbar. Seien \(L_1,L_2\in O(f)\) und \(x_1,\ldots,x_n\in V\) beliebig. Um zu zeigen, dass \(L_1\circ L_2\in O(f)\), müssen wir überprüfen, dass \(f((L_1\circ L_2)(x_1),\ldots,(L_1\circ L_2)(x_n))=f(x_1,\ldots,x_n)\) gilt. Aber dafür können wir einfach nacheinander die Voraussetzungen \(L_1\in O(f)\) und \(L_2\in O(f)\) verwenden:$$f((L_1\circ L_2)(x_1),\ldots,(L_1\circ L_2)(x_n))=f(L_1(L_2(x_1)),\ldots,L_1(L_2(x_n)))=f(L_2(x_1),\ldots,L_2(x_n))=f(x_1,\ldots,x_n).$$ Also ist \(L_1\circ L_2\in O(f)\). Überleg mal, ob du so ähnlich zeigen kannst, dass \(L_1^{-1}\in O(f)\). Tipp: Denk dran, dass du \(L\in O(f)\) verwenden musst.

Für die b) geb ich dir einen Hinweis: Betrachte \(L\in GL(V)\) mit \(b_1\mapsto 2b_1,b_i\mapsto b_i,i\geq 2\) für eine Basis \(b_i\).
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Super, danke für die Antwort. Ich sehe meine Fehler jetzt auch ein und ärgere mich echt über meine Schusseligkeit. Ich hatte es zuerst auch mit der Art Lösung versucht, wie du es jetzt vorschlägst, ich bin aber nicht darauf gekommen, dass \(f(L_1(L_2(x_1)),...,L_1(L_2(x_n)))=f(L_2(x_1),..., L_2(x_n)) )\) durch die Voraussetzung gilt....
Ich versuche mich dann jetzt nochmal an (U2) und b).
  ─   LarsHeinrich 08.05.2021 um 19:00

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