Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. bin mir nicht sicher, ob meine Lösung richtig ist.
Aufgabe: Es seien \(n \in \mathbb{N}\) und \(V\) ein \(n\)-dimensionaler Vektorraum über einem Körper \(K\).
(a) Sei \(f: V^n \longrightarrow K\) eine \(n\)-Linearform. Zeigen Sie, dass
\(\qquad O(f):=\{L \in GL(V) | \ \ f(L(x_1), ..., L(x_n))=f(x_1, ..., x_n) \ für \space alle\ x_1, ..., x_n \in V \}\)
mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe bildet.
(b) Es gelte nun \(char(K)\neq 2\). Bestimmen Sie alle alternierenden \(n\)-Linearformen
\(\quad f:\ V^n \longrightarrow K\) mit \(O(f)=GL(V)\).
Mein Lösungsansatz: Ich weiß schon, dass \(GL(V)\), die Menge alle Automorphismen von V, mit der Komposition eine Gruppe bildet. Man müsste also nur zeigen, dass \(O(f)\) eine Untergruppe von \(GL(V)\) bildet. (U0) ist dann einfach zu zeigen, weil die Identität \(id \in GL(V)\) offensichtlich in \(O(f)\) liegt. Es gilt also \(O(f)\neq \varnothing\).
Probleme macht mir jetzt (U1). Hier müsste ich zeigen, dass für alle \(L_1, L_2 \in O(f)\) auch \(L_1 \circ L_2 \in O(f)\) gilt. Die Idee war, dass man \(L_1, L_2\) oBdA folgend definieren könnte:
\(\qquad L_1: V^n \longrightarrow K, x_i \mapsto x_i + y_i\qquad L_2: V^n \longrightarrow K, x_i\mapsto x_i+z_i, \qquad i=1,...,n\)
Der Grund dafür, dass man das so machen können müsste, ist einfach, dass \(L_1, L_2\) Automorphismen sind und daher entsprechende \(y_i, x_i \in K\) auf jeden Fall existieren.
Wenn nun \(L_1, L_2 \in O(f) \) gilt, dann folgt bspw. für \(L_1\):
\( f(L_1(x_1), ...,L_1(x_n))= f(x_1 +y_1,..., x_n +y_n)= f(x_1,..., x_n)+f(y_1, ...,y_n) \).
Wegen \(L_1 \in O(f)\) muss dann gelten \(f(y_1,...,y_n)=0\). Analog kann man dann zeigen, dass für \(L_2\) gelten muss: \(f(z_1,..., z_n)=0\).
Für \(L_1 \circ L_2\) gilt dann:
\(f((L_1\circ L_2)(x_1),..., (L_1\circ L_2)(x_2))=f(L_1 (x_1+z_1),..., L_1 (x_n+z_n)) \\ \qquad = f(x_1+y_1+z_1,..., x_n+y_n+z_n =f(x_1,...,x_n)+f(y_1,...,y_n)+f(z_1,...,z_n) \\ \qquad =f(x_1,..., x_n) \)
Damit gilt \(L_1 \circ L_2 \in O(f)\).
(U2) müsste dann einfach auf ähnliche Weise zu zeigen sein.
Meine Idee für (b) ist sehr rudimentär, weshalb ich die jetzt gar nicht mehr mit hochlade.
Ich versuche mich dann jetzt nochmal an (U2) und b). ─ mrchucuchucu 08.05.2021 um 19:00