Erstmal: Warum sollte das Ergebnis von $\lim_{x\to0^+}f(x)$ und $\lim_{x\to0^-}f(x)$ gleich $0$ sein? Wegen der Stetigkeit müssen sie gleich sein, aber nicht zwingend $0$. Du erhälst nur die Gleichung $$b=\sin(0a)+b=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=\frac{0^2-c(0+6)}{0-3}=2c.$$ Du siehst auch schon, dass der Wert von $a$ überhaupt keine Rolle spielt für die Stetigkeit.

Jetzt zur Stelle $x=3$: Du hast schonmal richtig erkannt, dass das eine Definitionslücke der gebrochen rationalen Funktion ist. Bei einer solchen Definitionslücke gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder divergiert die Funktion an der Stelle gegen $\pm\infty$, oder es ist eine behebbare Definitionslücke. Der erste Fall kann aber bei einer stetigen Funktion nicht sein, denn $x^3-d$ wird sicher nicht $\pm\infty$ für $x=3$. Also haben wir eine behabbare Definitionslücke, was nur dann der Fall sein kann, wenn auch der Zähler der gebrochen rationalen Funktion für $x=3$ verschwindet. Also erhälst du die Gleichung $$3^2-c(3+6)=0,$$ was du nach $c$ auflösen kannst und wodurch du durch obige Gleichung auch einen Wert von $b$ bekommst. Schließlich bestimme noch $\lim_{x\to3^-}f(x)$, indem du in der gebrochen rationalen Funktion im Zähler $x-3$ ausklammerst, dann kürzt und einsetzt. Setzt du das wieder gleich mit dem Grenzwert von $x\to3^+$, um $d$ zu bestimmen.