Für welche Werte a,b,c,d ist die Funktion Stetig?

Erste Frage Aufrufe: 67     Aktiv: 22.06.2021 um 15:55

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Hallo Leute! Hab ein Problem mit diesem Rechenbeispiel, und ich weiß nicht ob das richtig ist wie ich hier vorgehe, und wie ich weiter mache... In meinem Lösungsansatz habe ich die ersten beiden Funktionen mit dem Limes mit x gegen positives und negatives 0 schicken lassen und dann das ergebnis =0 werden lassen. Weil wenn man die Funktionen am Graph ohne Parameter ansieht dann sollte doch 0 ein Stetiger Punkt aller 3 Funktionen sein und so habe ich auch für a,b,c schonmal 0 bekommen... aber wenn ich jetzt den Limes gegen x=3 schicke dann ist ja bei der 2ten funktion eine division durch 0 und das wäre ja unendlich oder? ich weiß nicht mehr weiter kann mir bitte wer helfen?

lg Xaver 

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Erstmal: Warum sollte das Ergebnis von $\lim_{x\to0^+}f(x)$ und $\lim_{x\to0^-}f(x)$ gleich $0$ sein? Wegen der Stetigkeit müssen sie gleich sein, aber nicht zwingend $0$. Du erhälst nur die Gleichung $$b=\sin(0a)+b=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=\frac{0^2-c(0+6)}{0-3}=2c.$$ Du siehst auch schon, dass der Wert von $a$ überhaupt keine Rolle spielt für die Stetigkeit.

Jetzt zur Stelle $x=3$: Du hast schonmal richtig erkannt, dass das eine Definitionslücke der gebrochen rationalen Funktion ist. Bei einer solchen Definitionslücke gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder divergiert die Funktion an der Stelle gegen $\pm\infty$, oder es ist eine behebbare Definitionslücke. Der erste Fall kann aber bei einer stetigen Funktion nicht sein, denn $x^3-d$ wird sicher nicht $\pm\infty$ für $x=3$. Also haben wir eine behabbare Definitionslücke, was nur dann der Fall sein kann, wenn auch der Zähler der gebrochen rationalen Funktion für $x=3$ verschwindet. Also erhälst du die Gleichung $$3^2-c(3+6)=0,$$ was du nach $c$ auflösen kannst und wodurch du durch obige Gleichung auch einen Wert von $b$ bekommst. Schließlich bestimme noch $\lim_{x\to3^-}f(x)$, indem du in der gebrochen rationalen Funktion im Zähler $x-3$ ausklammerst, dann kürzt und einsetzt. Setzt du das wieder gleich mit dem Grenzwert von $x\to3^+$, um $d$ zu bestimmen.
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Ok danke schonmal für die rasche und hilfreiche Antwort! Ein paar Dinge sind mir noch unklar. Wie zb komme ich drauf dass ich sage b = sin(0*a) + b, also wie komme ich da drauf das b = ... ist? Und dann habe ich ja wenn ich die Lösung auflöse für c=1. Also ist dann mein b=2. Und wie soll ich bei der gebrochen rationalen Funktion im Zähler x-3 ausklammern? Soll ich mit *(x-3/x-3) den Bruch auf jeder Seite erweitern? ich komm da gerade nicht drauf und wie du ja sagtest a=egal welcher wert, also kann ich dann als antwort schrieben a=E R? Danke lg Xaver   ─   xaverhauer 22.06.2021 um 15:30

So wie ich die Gleichung, die mit $b=\ldots$ beginnt, aufgeschrieben habe, kommt man natürlich nicht drauf. Du weißt, dass $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)$ gilt, und dann rechnest du beide Seiten aus, und kommst auf $b=2c$. Ich habe es bloß knapp in eine Zeile gepackt.
Genau, $c=1$ und $b=2$ sind richtig, und du kannst einfach $a\in\mathbb R$ schreiben.

Zum Ausklammern: Setzt du $c=1$ ein, dann hat die rationale Funktion die Form $$\frac{x^2-(x+6)}{x-3}=\frac{x^2-x-6}{x-3}=\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2,$$ wobei du die Faktorisierung entweder durch Berechnung der Nullstellen oder durch Polynomdivision mit $(x-3)$ (denn du weißt ja schon, dass das ein Faktor ist) herausfinden.
  ─   stal 22.06.2021 um 15:40

Ok, vielen lieben Danke das hat mir alles wirklich geholfen, jetzt versteh ich es
  ─   xaverhauer 22.06.2021 um 15:55

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