Tranfomartionsmatrix für Einheitsvektoren bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 83     Aktiv: vor 6 Tagen, 14 Stunden

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(3 P.) Wir betrachten die Basen B : ( 2 1 ), ( 5 2 ) und C : ( 1 −1 ),( −1 3 ) sowie die Standardbasis E : ~e1, ~e2 des R 2 .(-->logischer weise sind es vektoren)
Die lineare Abbildung f : R ^2 → R^2 sei gegeben durch B-->C f = ( 1 −1(oberezeile)2 1(unterezeile) ). Berechnen Sie E-->E f
gefragt

Punkte: 17

 

Wo kommst du nicht mehr weiter?   ─   anonym42 17.02.2021 um 13:01

also ich hätte folgenden Ansatz: man setzt einen B-Vektor ein und kriegt durch die Tranformationsmatrix ja den dazugehörigen C vektor raus. Zuvor schaut man wie man die Vektoren von B durch die Einheitsvektoren darstellen kann. Aber ich weiss nicht ob der Ansatz der richtige ist bzw wie ich davon weiter rechnen muss   ─   stepthemuss 17.02.2021 um 13:16

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Hallo,

wenn ich dich richtig verstehe, bildet deine Abbildung von der Basis \( \mathcal{B} \) in die Basis \( \mathcal{C} \). Beschreiben wir die zugehörige Abbildungsmatrix mal mit \( M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \). 
Nun wollen wir einen Basiswechsel durchführen. Und zwar sollen beide Basen zur Standardbasis \( \mathcal{E} \) werden (sprich wir wollen \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \)). 

Für den Basiswechsel benötigen wir zwei Transformationsmatrizen. Einmal für die Basis des Definitonsraums und einmal für die Basis des Zielraums. Die Transformationsmatrix von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{E} \) bezeichnen wir mit \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}} \) und von \( \mathcal{C} \) nach \( \mathcal{E} \) mit \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}} \). 

Einen Basiswechsel ereichen wir nun über
$$ M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} =  T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}} \cdot M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \cdot     T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} $$
Man muss hier dabei drauf achten, dass die Transformationsmatrix für den Definitionsraum invertiert wird, also eigentlich von \( \mathcal{E} \) nach \( \mathcal{B} \) abbildet. 

Gut nun müssen wir aber die Transformationsmatrizen noch aufstellen. Eine Transformationsmatrix ist in erster Linie eine Abbildungsmatrix. Und zwar die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung. Wir wollen die Abbildung ja nicht verändern, deshalb bilden wir jeden Vektor wieder auf sich selbst ab, eben nur in einer anderen Basis. 

Die Transformationsmatrix erhalten wir, indem wir die Vektoren der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis darstellen. Die Koeffizienten der Linearkombination bilden dann die Spalten der Transformationsmatrix. 

Versuch dich mal diese zu berechnen. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian
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Vielen Dank für die Hilfe Christian,
die Antwort hat mir geholfen. Habe ich es richtig verstanden, dass man die jeweiligen Basivektoren zusammen in eine Matrix schreibt und daneben noch die jeweiligen anderen Basisvektoren, in meinem Fall also die Einheitsvektoren, sprich man hat die Basisvektoren neben der Einheitsmatrix? Wenn ja, dann habe ich es verstanden und sogar etwas raus was sinn machen könnte.
MfG StepTheMuss
  ─   stepthemuss 18.02.2021 um 16:35

Hoffe es stört nicht, wenn ich auch kurz was Frage - man bestimmt die Abbildungsmatrix indem man von x -> y abbildet (egal welche Dimension)
Die Abbildung x -> erhält man, indem man den Gaußalgorithmus durchführt und die Einheitsmatrix von x bestimmt, die untere Matrix ist die Abbildungsmatrix von x-> y, was muss man dann weiters noch machen? Außer Bilder abbilden, und ev Kern der Abbildungsmatrix bestimmen?
Danke schon mal 🙂
  ─   infomarvin 18.02.2021 um 16:49

Die Einheitsmatrix bekommst du nicht heraus, Die Einheitsmatrix ist gerade die Identitätsabbildung, wenn beide Räume die selbe Basis haben.
Da wir bei \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}} \) die Standardbasis als neue Basis haben, entsprechen die Koeffizienten in der Linearkombination der alten Basisvektoren genau den Koeffizienten der Vektoren selbst, also
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 1e_1 + (-1)e_2 $$
und
$$ \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1e_1 + 3 e_2 $$
Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix
$$ T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$
Die Spaltenvektoren entsprechen also den Basisvektoren der alten Basis.
Für die Transformationsmatrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} \) haben wir nun zwei Möglichkeiten. Entweder wir stellen die Standardbasis als Linearkombination der Basisvektoren aus \( \mathcal{B} \) dar und schreiben die Koeffizienten wieder in die Spalten, oder wir nehmen einfach wieder die Basisvektoren von \( \mathcal{B} \) als Spaltenvektoren und erhalten so \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}} \). Dann können wir die Matrix noch invertieren, denn es gilt
$$ (T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}})^{-1}= T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} $$

Schreibe mir gerne deine Lösungen hier rein, ich bin jetzt aber erstmal ein paar Stunden anderweitig beschäftigt. Ich gucke mir die Lösung aber gerne heute Abend nochmal an. :)
  ─   christian_strack 18.02.2021 um 17:11

@informarvin ich hoffe es ist ok wenn ich dir darauf heute Abend antworte. Dann aber sehr gerne :)   ─   christian_strack 18.02.2021 um 17:12

Ja ich bin dankbar, das mir wer hilft :)   ─   infomarvin 18.02.2021 um 17:13

@christian_strack ich wollte prinzipiell eigentlich nur wissen, welche Möglichkeiten es allgemein gibt (welche Aufgabenstellungen) momentan weiß ich nur wie man die kanonische Darstellungsmatrix berechnet abbildet, der Kern berechnet, Rang usw.   ─   infomarvin 18.02.2021 um 22:11

@christian_strack Vielen Dank dir nochmals, ich hätte jetzt insgesamt eine Transformations matrix von E nach E raus mit
1 13
4 -2
Ich muss ich sagen ich verstehe das jetzt tatsächlich besser als zu vor. Danke!
  ─   stepthemuss vor 6 Tagen, 17 Stunden

Also erstmal die Transformationsmatrix \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \) wäre einfach die Einheitsmatrix, denn eine Transformationsmatrix beschreibt immer die Identitätsabbildung und da wir in beiden Räumen die selbe Basis haben, wird jeder Vektor auf sich selbst abgebildet.
Man kann sich merken, eine Transformationsmatrix ist eine spezielle Abbildungsmatrix, aber nicht jede Abbildungsmatrix ist eine Transformationsmatrix. :)

Jetzt habe ich aber
$$ M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -6 & 17 \end{pmatrix} $$
heraus. Einer von uns beiden hat sich verrechnet. Deshalb kurzer Abgleich, ich habe
$$ T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} , \quad \text{und} \quad T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$
Hast du das auch?
  ─   christian_strack vor 6 Tagen, 15 Stunden

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So @Infomarvin, ich antworte dir mal in einer neuen Antwort, damit wir gebenenfalls unterhalb dieser Antwort weiter diskutieren können, ohne das wir den Fluß von stepthemuss unterbrechen. 

In deiner ersten Frage sind ein paar Punkte nicht ganz eindeutig ausgedrückt, deshalb kurz zur Klärung: 
Wir können eine lineare Abbildung auf 2 Arten darstellen (andere Abbildung teilweise auch, aber im allgemeinen nicht). Einmal durch eine Funktionsvorschrift, beispielsweise
$$f (x,y,z) = (x+y,2z,z-x) $$
oder durch eine Matrix
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  $$
Um eine Abbildung in Matrixschreibweise darstellen zu können, braucht man die Basis, der Vektorräume, von dem und in den man abbildet. Denn je nach Wahl der Basis, erhalten wir für die selbe Abbildung eine andere Matrixdarstellung. 
Nun berechnet man für gewöhnlich die Matrix, indem man die Basisvektoren vom Definitionsraum einsetzt. Du sagst jetzt, bis jetzt habt ihr nur in die kanonische Basis abgebildet (das interpretiere ich aus "kanonische Darstellunsgmatrix")? 

Ein weiterer Aufgabentyp könnte nun vielleicht sein, dass wir im Zielraum nicht die kanonische Basis haben. Dann müssten wir die Bilder der Basisvektoren durch Linearkombination der Basis des Zielraums darstellen und die Koeffizienten wären die Spaltenelemente unserer Matrix. 

Nun kann man eine Abbildungsmatrix auch über allgemeine Bildvektoren aufstellen. Ich denke das meinst du mit "man bestimmt die Abbildungsmatrix indem man von x -> y abbildet (egal welche Dimension)" oder?
Da würde man dann über den Gaußalgorithmus die Matrix bestimmen. Ansonsten bräuchte man das nur für die oben erwähnte Linearkombination.

Kurze Anmerkung: "Die Abbildung x ->" ist so nicht richtig. Eine Abbildung kann nur von einer Struktur in eine andere gehen. Also \(X \to Y \). Vielleicht hast du auch nur ein \(Y \) vergessen, aber ich wolte das kurz sagen, damit nichts falsch hängen bleibt. :)

Welche Aussage ich nicht verstehe ist "Einheitsmatrix von x bestimmt".

Jetzt ist aber deine eigentliche Frage, welche Aufgabentypen es noch gibt. Meinst du in Bezug auf Abbildungsmatrizen? Meinst du allgemein in der linearen Algebra? Oder meinst du im Sachzusammenhang (also mit "realer Anwendung")? Was genau studierst du? In was für einem Modul kommt das bei dir vor? 

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Zuerst einmal vielen, vielen Dank für deine Mühe / Antwort :) Ich studiere Wirtschaftsinformatik (derweilen noch, vielleicht gebe ich auch auf, obwohl ich sonst alles geschafft habe (sogar die Mathematik Übung mit 3 - morgen steht jedoch die letzte Prüfung, für die ich 4 Antritte habe bevor) - und lineare Algebra fällt mir leider teilweise relativ schwer, ich verstehe eben nicht den Unterschied zwischen einer festgelegten Abbildung (Darstellungsmatrix, Wikipedia-Artikel) (die erste Formel) und die Basistransformationsmatrix (2. Formel), 2. weiß ich mithilfe des Videos https://www.youtube.com/watch?v=CR7e7Zc0QLg jetzt zu bestimmen - und da muss eben z.B. wenn ich vom Raum X -> Y Abbilde mit Gauß so umgeformt werden, dass bei X (oben) die Einheitsmatrix steht, was unten stehen bleibt ist die Abbildungsmatrix, die dann nach Fortsetzungssatz (über diese kanonische Transformationsmatrix - soweit ich das verstanden habe, eindeutig bestimmt ist) - bei deiner 1. Formel gebe es noch die Möglichkeit in irgendeiner Form zu bestimmen (ich glaube so ein Beispiel habe ich bereits einmal gesehen, ob das Bild eindeutig ist, oder so ähnlich)
Ich habe intensiv gelernt, immer wieder (oft vielleicht zu nervig) Fragen gestellt (nunmehr seit 4 Wochen) - sonst auch immer mitgelernt (nur leider zu wenig geübt - viel zu sehr auf das "Auswendigwissen" der Beweise versteift (Lernfehler) - folglich aber auch so vergesse ich leider immer wieder Formeln (Logiken, Lösungsmethoden) - was aufgrund des zeitlichen Aufwands, den ich schon reingesteckt habe leider, sehr, sehr nervenaufreibend und nervig ist (stärkt nicht unbedingt das Selbstvertrauen) Naja - wie gesagt, man hat eh mehrere Antritte - aber es nervt
  ─   infomarvin 19.02.2021 um 00:11

Ich hab dazu (gestern glaub ich) eine Frage gestellt - ich hab es nämlich so aufgefasst, dass wenn steht f(2 1) = ( 3 2 1) => das man das ja auch so deuten kann - wie es deine 1. Formel mit Linearkombinationen festlegt - oder eben mit der Kanonische Basis. Aber ich hab es immer so verstanden dass R2, R3 so viele Basen wie die Dimension hat, was würde eine 3x2 Matrix * 2x2 => die auf R3 abbildet bedeuten- welche Kanonische Basis wäre das? Von welcher Dimension, 3-Dimensional <=> 3 Basisvektoren?   ─   infomarvin 19.02.2021 um 00:23

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Du hast da etwas falsch verstanden: Ein endlicher Vektorraum hat nicht nur so viele Basen wie Dimensionen, es besteht jediglich jede Basis aus so vielen Basisvektoren wie die Dimension   ─   mathejean vor 6 Tagen, 15 Stunden

Oh ich hoffe die Antwort kommt jetzt nicht zu spät vor deiner Prüfung :/
Zuerst einmal, gib nicht auf!! Mathe lebt eben genau davon. Man muss eine gewisse Freude dafür entwickeln zu scheitern und sich zu überlegen warum das jetzt quatsch war um dann hinter das "Geheimnis" zu kommen. Es ist eine extreme Art vom Lösen von Rätseln.
Deshalb ist es schon mal gut, dass du hier ins Forum gekommen bist, damit wir am Unverständnis arbeiten können :)

Nun zu deiner Frage. Eine Basistransformationsmatrix ist eine spezielle Art der Darstellungsmatrizen. Und zwar ist die Idee hinter der Basistransformation folgende: Jeder Vektorraum hat unendliche viele Basen. Nehmen wir zum Beispiel die kanonische Basis (oder auch Standardbasis) des \( \mathbb{R}^2\).
$$ \mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
Jetzt wäre eine weitere Basis
$$ \mathcal{B}_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} $$
und auch jedes weitere Vielfache. Außerdem wäre aber beispielsweise auch
$$ \mathcal{C} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
eine Basis.
Wie mathejean ja jetzt schon richtig sagt, bezieht sich die Dimension eines Vektorraums auf die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren die wir brauchen, um eine Basis zu erhalten.

Die Standardbasis heißt übrigens so, weil sie die intuitivste ist. Man betrachtet die "Schritte" die man entlang einer Achse geht und diese sind dann die Koeffizienten des Vektors. Das ist bei den anderen Basen nicht mehr so.
Nun ist die Darstellung jedes Vektors je nach Basis unterschiedlich. Betrachten wir beisielsweise den Vektor \( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) in der kanonischen Basis (also in der Standardbasis \( \mathcal{B} \)). Dann hätten wir
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
In der Basis \( \mathcal{C} \) hätten wir die Darstellung
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac 5 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (- \frac 1 2 ) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Also in der Basis \( \mathcal{C} \) hätten wir die Darstellung \( \begin{pmatrix} \frac 5 2 \\ - \frac 1 2 \end{pmatrix} \)

So nun soll die Basiswechselmatrix jeden Vektor auf seine neue Darstellung abbilden. Wir verändern also in dem Sinne nicht den Vektor, sondern nur die Darstellung.
So viel zur Idee der Basiswechselmatrix.

Nun wird über das Verfahren, dass du in dem Video siehst genau das gemacht, was ich mit der Linearkombination mache. Wie du es also angehen möchtest, ist dir überlassen. Ich persönlich fand es als Linearkombination immer einleuchtender, aber da kann jeder gucken was ihm/ihr am besten gefällt :)
Das wichtigste ist, wie du schon sagst, zu verstehen was wir hier überhaupt machen.
  ─   christian_strack vor 6 Tagen, 14 Stunden

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