Hallo,

wenn ich dich richtig verstehe, bildet deine Abbildung von der Basis \( \mathcal{B} \) in die Basis \( \mathcal{C} \). Beschreiben wir die zugehörige Abbildungsmatrix mal mit \( M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \). 
Nun wollen wir einen Basiswechsel durchführen. Und zwar sollen beide Basen zur Standardbasis \( \mathcal{E} \) werden (sprich wir wollen \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} \)). 

Für den Basiswechsel benötigen wir zwei Transformationsmatrizen. Einmal für die Basis des Definitonsraums und einmal für die Basis des Zielraums. Die Transformationsmatrix von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{E} \) bezeichnen wir mit \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}} \) und von \( \mathcal{C} \) nach \( \mathcal{E} \) mit \( T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}} \). 

Einen Basiswechsel ereichen wir nun über
$$ M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} =  T_{\mathcal{E}}^{\mathcal{C}} \cdot M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \cdot     T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} $$
Man muss hier dabei drauf achten, dass die Transformationsmatrix für den Definitionsraum invertiert wird, also eigentlich von \( \mathcal{E} \) nach \( \mathcal{B} \) abbildet. 

Gut nun müssen wir aber die Transformationsmatrizen noch aufstellen. Eine Transformationsmatrix ist in erster Linie eine Abbildungsmatrix. Und zwar die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung. Wir wollen die Abbildung ja nicht verändern, deshalb bilden wir jeden Vektor wieder auf sich selbst ab, eben nur in einer anderen Basis. 

Die Transformationsmatrix erhalten wir, indem wir die Vektoren der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis darstellen. Die Koeffizienten der Linearkombination bilden dann die Spalten der Transformationsmatrix. 

Versuch dich mal diese zu berechnen. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

So @Infomarvin, ich antworte dir mal in einer neuen Antwort, damit wir gebenenfalls unterhalb dieser Antwort weiter diskutieren können, ohne das wir den Fluß von stepthemuss unterbrechen. 

In deiner ersten Frage sind ein paar Punkte nicht ganz eindeutig ausgedrückt, deshalb kurz zur Klärung: 
Wir können eine lineare Abbildung auf 2 Arten darstellen (andere Abbildung teilweise auch, aber im allgemeinen nicht). Einmal durch eine Funktionsvorschrift, beispielsweise
$$f (x,y,z) = (x+y,2z,z-x) $$
oder durch eine Matrix
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  $$
Um eine Abbildung in Matrixschreibweise darstellen zu können, braucht man die Basis, der Vektorräume, von dem und in den man abbildet. Denn je nach Wahl der Basis, erhalten wir für die selbe Abbildung eine andere Matrixdarstellung. 
Nun berechnet man für gewöhnlich die Matrix, indem man die Basisvektoren vom Definitionsraum einsetzt. Du sagst jetzt, bis jetzt habt ihr nur in die kanonische Basis abgebildet (das interpretiere ich aus "kanonische Darstellunsgmatrix")? 

Ein weiterer Aufgabentyp könnte nun vielleicht sein, dass wir im Zielraum nicht die kanonische Basis haben. Dann müssten wir die Bilder der Basisvektoren durch Linearkombination der Basis des Zielraums darstellen und die Koeffizienten wären die Spaltenelemente unserer Matrix. 

Nun kann man eine Abbildungsmatrix auch über allgemeine Bildvektoren aufstellen. Ich denke das meinst du mit "man bestimmt die Abbildungsmatrix indem man von x -> y abbildet (egal welche Dimension)" oder?
Da würde man dann über den Gaußalgorithmus die Matrix bestimmen. Ansonsten bräuchte man das nur für die oben erwähnte Linearkombination.

Kurze Anmerkung: "Die Abbildung x ->" ist so nicht richtig. Eine Abbildung kann nur von einer Struktur in eine andere gehen. Also \(X \to Y \). Vielleicht hast du auch nur ein \(Y \) vergessen, aber ich wolte das kurz sagen, damit nichts falsch hängen bleibt. :)

Welche Aussage ich nicht verstehe ist "Einheitsmatrix von x bestimmt".

Jetzt ist aber deine eigentliche Frage, welche Aufgabentypen es noch gibt. Meinst du in Bezug auf Abbildungsmatrizen? Meinst du allgemein in der linearen Algebra? Oder meinst du im Sachzusammenhang (also mit "realer Anwendung")? Was genau studierst du? In was für einem Modul kommt das bei dir vor?