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Ich kann deine Verwirrung hier nachvollziehen, da hier offensichtlich mit der Notation geschlampt wurde. Normalerweise unterscheidet man zwischen Polynom und Polynomabbildung, mit \(P(\frac 1 x)\) ist aber wohl der Auswertungshomorphismus von \(P\) in \(\frac 1 x\) gemeint. Normalerweise definiert man einen Auswertungshomorphismus in \(x_0\), hier z.B. \(\tilde{}: \mathbb{R}[Y] \to \mathbb{R}, \sum_{i=0}a_iY^i \mapsto \sum_{i=0} a_i x_0^i\) und schreibt dann \(\tilde{P}(\frac 1x)\). Ein Ausdruck \(P(x)\) für ein \(P \in \mathbb{R}[Y]\) macht aus algebraischer Sicht keinen Sinn, da die Elemente von \(\mathbb{R}[Y]\) Folgen in \(\mathbb{R}\) sind, für die fast alle Folgenglieder \(0\) sind.
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Vielleicht in diesem Kontext sinnvoller statt dem Auswertungshomorphismus definieren wir \(\tilde{}\) als kanonische Polynomabbildung zu einem Polynom: \(\tilde{}:\mathbb{R}[Y]\to \mathrm{Abb}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \sum_{i=0}a_iY^i \mapsto \begin{cases} \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\x\mapsto \sum_{i=0} a_ix^i \end{cases}\). Leztendlich ist in deinem Kontext wohl oder übel \(P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\) für \(a_i \in \mathbb{R}\)   ─   mathejean 06.01.2022 um 12:24

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