He tries the keys one after another, eliminating each wrong key as he goes. What is the probability

Aufrufe: 813     Aktiv: 02.07.2021 um 10:19
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Hallo zusammen,

A caretaker goes home in the evening. He has n keys, only one of which opens the door to
his home, but he can't remember which one.
a) He tries the keys one after another, eliminating each wrong key as he goes. What is the probability
that the kth key he tries opens the door ?
b) After a party he tries to open the door but forgets to eliminate wrong keys after testing them.
Give the distribution of the number of attempts needed to nd the right key. What is the probability
that the door will open on the kth attempt?

Stimmt meine Überlegung? Was muss ich noch beachten?

a) n = Schlüssel 
1. Versuch: n-1 falls nicht der richtige Schlüssel gehe zu 2.Versuch
2. Versuch: n-1-1 -> n-2 falls nicht der richtige Schlüssel gehe zu 3.Versuch
3. Versuch: n-1-1-1 -> n-3 falls nicht der richtige Schlüssel gehe zu etc.
k.Versuch: n-k Wie schaut man, das man nicht den gleichen Schlüssel verwendet?

n-k/n

b) n=Schlüssel
n-k?


Vielen Dank!


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Moin,

Deine Ansatzüberlegungen sind soweit korrekt.'
Prinzipiell ist das ja quasi ein "Ziehen mit/ohne Zurücklegen"

Zu a)

An sich wird deine berechnete Wahrscheinlichkeit immer kleiner. Das liegt daran, dass du mit "n - (k/n)" die Wahrscheinlichkeit berechnest, ob ein "falscher Schlüssel" gezogen wird.

Um zu schauen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist beim k-ten Versuch den richtigen zu ziehen wäre:

 

1-(n-(k/n))

Zu b)

 

Da er keine Schlüssel weglegt, wird die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch "rein theoretisch natürlich" gleichbleiben, weil er eigentlich zufällig einen Schlüssel auswählt. (In der Realität könnte man sich die Form der Schlüssel sicher irgendwie merken)

Daher ist die Wahrscheinlichkeit hier für jeden Schlüssel bei jedem Versuch immer 1/n

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Vielen Dank für deine Antwort.

Warum 1-(.../n)? Warum 1 und division durch n?

b) alles klar!   ─   sayuri 01.07.2021 um 20:25
1-(...) beschreibt einfach nur die Gegenwahrscheinlichkeit. Der andere Term ist ja die Wahrscheinlichkeit, den falschen Schlüssel zu nehmen.
Angenommen du hast eine Wahrscheinlichkeit von 20% dass du den falschen Schlüssel nimmst. Dann hast du ja umgekehrt eine 80% Wahrscheinlichkeit, den richtigen zu ziehen (Alle Möglichkeiten aufaddiert sind ja immer 100%, weil immer irgendein Ereignis eintritt)

und 100%-20% = 80% :)

Hoffe das ist soweit verständlich gewesen.

Zu deiner zweiten Frage habe ich glaube ich die Klammern falsch gesetzt,
es sollte glaube ich eher 1-((n-k)/(n-k +1)) sein.
Du berechnest ja die Anzahl der falschen Schlüssel und setzt sie ins Verhältnis mit allen Schlüsseln.
Und legst jeden falsch gezogenen Schlüssel anschließend quasi komplett weg

Alle Schlüssel sind n.
Die bereits falschen & weggelegten sind k (zu k gehört quasi auch der richtige Schlüssel, weil er ja nicht in die Anzahl der falschen reingehört, daher ziehst du in der ersten Ziehung von n bereits k = 1 ab.

Kleineres Beispiel zum Verständnis:

Du hast 5 Schlüssel, einer ist richtig.

Erste Ziehung:

(5-1)/5 = 4/5
Die Wahrscheinlichkeit aus 5 Schlüsseln einen falschen zu ziehen ist 4/5, weil es 4 falsche und 1 richtigen gibt.

Zweite Ziehung:
(Bei der ersten wurde ein falscher gezogen, der wird komplett rausgestrichen)

(5-2)/(5-2+1) = 3/4

Du hast noch 4 Schlüssel zur Auswahl, davon ist einer Richtig (Daher musst du im Nenner eine 1 addieren, weil er in die gesamtanzahl reinzählt) und noch drei falsche. => Also 3/4

USW.   ─   julianb 02.07.2021 um 09:03
Nun ist es verständlich und danke für das kleine Beispiel.   ─   sayuri 02.07.2021 um 10:19

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