Die Eigenschaften \(\|x\| \ge 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R}^n\) und \( \|x\| = 0 \Leftrightarrow x=0 \) gelten per Defintion.

Seien nun \( x,y \in \mathbb{R}^n\) und \(\varepsilon > 0\).

Es gilt \( \frac{x}{\|x\| + \varepsilon}, \frac{y}{\|y\| + \varepsilon} \in A \) und \( \frac{\|x\|+\varepsilon}{\|x\|+\|y\|+2 \varepsilon} \in [0,1] \) mit \( 1 - \frac{\|x\|+\varepsilon}{\|x\|+\|y\|+2 \varepsilon} = \frac{\|y\| + \varepsilon}{\|x\|+\|y\|+2 \varepsilon} \)

Aus der Konvexitätseigenschaft von \(A\) folgt damit

\( \frac{x+y}{\|x\|+\|y\|+2 \varepsilon} = \frac{\|x\| + \varepsilon}{\|x\|+\|y\|+ 2 \varepsilon} \frac{x}{\|x\|+ \varepsilon} + \frac{\|y\| + \varepsilon}{\|x\|+\|y\|+2 \varepsilon} \frac{y}{\|y\| + \varepsilon} \in A\)

also \( \|x+y\| \le \|x\|+\|y\|+2 \varepsilon \) und für \( \varepsilon \rightarrow 0 \) erhalten wir damit die Dreiecksungleichung \( \|x+y\| \le \|x\|+\|y\| \).

Seien weiterhin \( x,y \in \mathbb{R}^n\) und \(\varepsilon > 0\). Außerdem sei \(r \in \mathbb{R}\).

Für \(r=0\) gilt trivialerweise \( \| r \cdot x \| = \vert r \vert \cdot \|x\| \). Sei also im Folgenden \( r \neq 0 \).

Aus der Symmetrieeigenschaft von \(A\) folgt

\(\frac{r \cdot x}{ \vert r \vert \cdot (\|x\| + \varepsilon)} = \frac{r}{\vert r \vert} \frac{x}{\|x\|+ \varepsilon} \in A \)

also \( \|r \cdot x\| \le \vert r \vert \cdot (\|x\| + \varepsilon) \) und für \( \varepsilon \rightarrow 0\) folgt hieraus \( \| r \cdot x\| \le \vert r \vert \cdot \|x\| \).

Andererseits gilt

\( \frac{x}{\|x\|- \varepsilon} \notin A \) (für geeignete \( \varepsilon \))

und wegen der Symmetrieeigenschaft von \(A\) dann auch

\(\frac{r \cdot x}{ \vert r \vert \cdot (\|x\| - \varepsilon)} = \frac{r}{\vert r \vert} \frac{x}{\|x\|- \varepsilon} \notin A \)

also \( \|r \cdot x\| \ge \vert r \vert \cdot (\|x\| - \varepsilon) \) und für \( \varepsilon \rightarrow 0\) folgt hieraus \( \| r \cdot x\| \ge \vert r \vert \cdot \|x\| \).

Insgesamt erhalten wir also die Homogenitätseigenschaft \( \| r \cdot x\| = \vert r \vert \cdot \|x\| \).

Und damit ist alles gezeigt.