Ich werde versuchen, Dir das zu erklären. Ich unterscheide aber sprachlich (in meinen Vorlesungen oder in meinem Buch Mathematik Klausurtrainer) zwischen 2-dimensional (Bereichsintegral) und 3-dimensional (Gebietsintegral). Also: Stell' Dir eine Fläche in der xy-Ebene vor und darüber die Funktion f=1. Über einem Bereich B der Ebene hat man dann das Volumen \(f \cdot B\), was zahlenmäßig aber auch den Flächeninhalt B liefert.
Oder: Physikalisch ist 
\( \int_V \rho(x,y,z) dV \) die Masse eines Körper, der die Dichtefunktion \( \rho \) hat. Ist die Dichte im Volumen überall (zahlenmäßig) gleich eins, dann liefert das Integral zahlenmäßig genau das Volumen. Wichtig! Ich habe immer "zahlenmäßig" benutzt um anzudeuten, dass durch korrekte Berücksichtigung von Maßeinheiten, das Ganze nicht mehr so stimmt.
Vielleicht interessierren auch meine Videos für den 2-dimensionalen Fall?

Sehr gute Frage!

Du kannst dir das als Gewichtung vorstellen! An manchen Stellen wird der "Flächeninhalt" unterschiedlich "gewichtet". Nicht überall gleich!

Das beste Beispiel ist wahrscheinlich der Erwartungswert! Auch das ist ein Integral (wenn du eine Dichefunktion hast). Du berechnest eine gweichtete Mittlung!

Hoffe das hilft schon etwas :)