Hesse-Matrix = 0

Aufrufe: 296     Aktiv: 15.06.2022 um 19:59

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Hallo,
ich habe die Funktion \( f(x,y)=e^{xy}+x^2+ \lambda y^2 \) und soll zeigen, dass sie für \( \lambda  \geq   \frac{1}{4}  \) ein lokales Minimum bei (0,0) hat. Die Hesse Matrix ist

\(H_{f} (x,y)=\)$\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\lambda \\
\end{pmatrix}$

Für \(\lambda  >   \frac{1}{4} \) ist mir das lokale Minimum bewusst, aber nicht für =1/4. Da ist die Determinante der Hesse-Matrix ja dann = 0 bzw. auch ein Eigenwert. Was mache ich an der Stelle?
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Finde \(r>0\), so dass für alle \(x \in B_r(0)\) gilt: \(f(x)\geq f(0)\)
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Wie habt ihr denn Minimum definiert?   ─   mathejean 15.06.2022 um 14:14

Bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine Antwort wirklich ganz verstehe.
Habe aber selbst noch was:
Die 1. Hauptminore ist ja größer 0, und die 2. Hauptminore = 0(für Lambda = 1/4). Damit wäre das Ganze positiv semidefinit, was für ein lokales Minimum schon reicht.

Stimmt das?
  ─   sreal 15.06.2022 um 14:18

Ja, du wenn du das Kriterium kennst hättest du aber auch schon sagen können, dass alle Eigenwerte größer gleich 0 sind, hieraus folgt auch positiv semi-definit   ─   mathejean 15.06.2022 um 14:22

Ja, ich kannte es eigentlich nicht, habe es gerade erst im Internet gefunden. Trotzdem Danke :)   ─   sreal 15.06.2022 um 14:23

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Positiv semidefinit reicht nicht aus um ein lok. Minimum zu garantieren.   ─   mikn 15.06.2022 um 14:38

Du hast recht! Ich habe mich von Ihm überzeugen lassen, weil er meinte er kennt so ein Kriterium. Also doch mit Definition arbeiten!   ─   mathejean 15.06.2022 um 14:40

Hm, mit der Defintion bin ich aber etwas überfordert.

Und in unserer Definiton steht nur, dass H_f positiv-definit sein muss. Semi-Definitheit wird bei uns gar nicht behandelt.
  ─   sreal 15.06.2022 um 14:59

@cauchy Ich weiß. Wurde mir ja schon von mathejean und mikn gesagt.
Ändert nichts daran, dass ich nicht weiß, wie ich mit der Definition arbeiten soll.
  ─   sreal 15.06.2022 um 15:12

In Eurer Def. sollte nichts von H_f pos.def. stehen (hoffe ich), weil da nichts definiert wird. Halte Def. und Satz auseinander. Es gibt auch nicht differenzierbare Funktionen, die lok. Min. haben, da kannst Du mit H_f auch nichts anfangen.   ─   mikn 15.06.2022 um 15:19

Stimmt, habe ich mich verguckt, was leider weiterhin nichts daran ändert, dass ich weiß, wie ich das mit der Definition machen soll   ─   sreal 15.06.2022 um 15:25

Habe jetzt mal versucht eine Musterlösung auf meine Funktion zu übertragen. Ich weiß nicht, ob das richtig ist, aber für mich würde das Sinn ergeben :)

Es ist also f gegeben durch \( f(x,y) = e^{xy}+x^2+\lambda y^2 \). Dann ist \( \nabla f(x,y)=(y \cdot e^{xy}+2x, x\cdot e^{xy} + 2\lambda y) \) und damit auch \( \nabla f(0,0)=(0,0) \), d.h. \((0,0)\) ist ein kritischer Punkt von f. Hier gilt \( f(x,0)=1+x^2>0 \) für alle \( x \) und \( f(0,y)=1+\lambda y^2 > 0 \) für alle \( y \) und für alle \( \lambda \geq \frac {1}{4}\). In jeder Umgebung von Null ohne den Ursprung sind also die Werte von f sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse strikt positiv. Damit liegt im Ursprung ein lokales Minimum vor.

Das einzige, was mich stört ist, dass die Einschränkung von Lambda auf größer als 1/4 hier nicht wichtig ist. Lambda könnte hier auch bspw. 1/3 sein und meine Argumentation würde stimmen. Aus einem anderen Aufgabenteil weiß ich aber, dass für Lambda zwischen 0 und 1/4 bei (0,0) ein Sattelpunkt liegt, was ja dann ein Widerspruch ist.
  ─   sreal 15.06.2022 um 19:27

Naja, das sind aber nur die f-Werte über den Achsen. Das sagt nichts allgemein aus. Zum Widerlegen eines Minimums kann man so vorgehen, aber nicht zum Beweisen. Und der Plot zeigt, da ist wirklich ein Minimum.
(Nochmal editiert, weil Du das mit $\lambda$ ja selbst gemerkt hast.) Übrigens ist $\frac13>\frac14$, also da ist schon noch ein Minimum.
Sorry, wenn das so negativ klingt. Wenn ich selbst eine Beweisidee hätte, würde ich Dich schon dahin schubsen.
  ─   mikn 15.06.2022 um 19:48

Erstens brauchst du nur eine Umgebung 2. reicht es nicht nur in \(x\) und \(y\) Richtung zu schauen. Du brauchst einfach eine ganz kleine Umgebung. Wenn du keine Ahnung hast kannst du auch übertreiben und mal \(r=\frac{1}{1000}\) setzen und schauen ob es klappt   ─   mathejean 15.06.2022 um 19:49

Oh das mit 1/3 ud 1/4 war ja blöd von mir. Hätte dann natürlich sowas wie 1/5 sein solllen.
Hm ok, ich werde es dann wohl erstmal dabei lassen, dass ich das lokale Minimum für echt größer 1/4 gezeigt habe.
Vielleicht finde ich ja aber auch noch was.
  ─   sreal 15.06.2022 um 19:59

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