Unterraum als Lösungsraum eines homogenen Gleichungssystems

Aufrufe: 976     Aktiv: 12.02.2020 um 14:28

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Hey,

ich schreibe in knapp zwei Wochen eine LinA1 Klausur und bin mir sehr sicher, dass eine Aufgabe sein wird, dass wir einen Unterraum als Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems beschreiben sollen. 

Dazu hatten wir die kanonische Projektion \(\pi _U: V \rightarrow V/U , v \mapsto v+U \) mit V ein K- Vektorraum und U ein Unterraum von V.

Das Prinzip ist mir (glaube) bewusst, also dass \(ker (\pi _U) = U \) gilt und wir \(A = D_{CB}(\pi _U) \) (Darstellungsmatrix) bestimmen wollen (mit B die Standardbasis von V und C eine beliebige Basis von V/U), sodass der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems \(A*x=0\) genau U beschreibt.

Bei mir scheitert es allerdings noch am Bestimmen der Darstellungsmatrix und ich kann erst nächste Woche einen Tutor fragen...

Habt ihr vielleicht Tipps oder kennt ihr gute und seriöse Internetseiten, die dieses Thema behandeln? 

Vielen Dank im Voraus :) 

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Hallo,

ich denke das ganze ist am einfachsten anhand eines Beispiels zu verstehen. 

Nehmen wir den affinen Unterraum \( v+ U \), mit 

$$ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

und 

$$ U = \left< \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \right> $$

Damit haben wir den affinen Unterraum

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + t + s \\ 2  + t + s \\ 3 + t -s \\ 4 + t - s \end{pmatrix} $$

Daraus können wir ein Gleichungssystem basteln, aus dem wir die Parameter \( s \) und \( t \) eliminieren. Am Ende erhalten wir 2 Gleichungen (oder in einem anderen Fall so viele wie die Dimension von \( U \) ist) und diese bilden dann unser LGS das den affinen Unterraum als Lösung hat.

Wenn du magst kannst du die Beispielaufgabe zu Ende rechnen. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

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