Sei α ∈ C mit α^(5) = 1 und α ungleich 1. Was ist [Q(α) : Q]?

Aufrufe: 671     Aktiv: 16.01.2022 um 12:49
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Sei α ∈ C mit α^(5) = 1 und α ungleich 1. Was ist [Q(α) : Q]?

Also ich habe schon die Lösung und zwar [Q(α) : Q]=4 , aber ich weiß allerdings absolut nicht, wie ich da drauf komme. Kann mir das jemand erklären? Würde mich sehr freuen!
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\(1\) und \(\mathfrak{a}\) sind Nullstellen vom Polynom \(X^5-1\), teile jetzt \(X^5-1\) durch \(X-1\), warum ist das ein Minimalpolynom für \(\mathfrak{a}\)?
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Student, Punkte: 10.87K

 
Vielen Dank!
Ich habe bei der Polynomdivision p=X^(4) +X^(3) + X^(2)+X+1 erhalten. Nach dem Satz über die Polynomdivision ist dies das Minimalpolynom, da p das Polynom X^(5)−1 teilt. Da p vom Grad 4 ist, erhalte ich das Ergebnis.
Passt das so?

   ─   user7be8f1 16.01.2022 um 10:20
Ja   ─   mathejean 16.01.2022 um 10:50
Danke für die Hilfe! Ich hätte noch eine Nachfrage und zwar habe ich eine weitere ähnliche Aufgabe:

Sei α ∈ C mit α^3 = 2. Was ist [Q(i, α) : Q]?

Ich würde die Aufgabe gleich angehen, aber mich irritiert das i. Wie habe ich das zu verstehen?

   ─   user7be8f1 16.01.2022 um 11:26
Das sind zwei Adjunktionen aufeinmal, du kannst hier mit einem Zwischenkörper arbeiten und dann Gradsatz   ─   mathejean 16.01.2022 um 12:49

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