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Die 4. Antwortmöglichkeit ist richtig, man betrachte eine beliebige Diagonalmatrix, die nicht nur Nullen auf der Hauptdiagonalen hat. Beispielsweise die Einheitsmatrix \( I \in \mathbb R^{n\times n} \). Diese hat nur Einsen auf der Hauptidagonalen, sprich auch nur die 1 als n-fachen Eigenwert. Bedeutet die Matrix hat vollen Rang \(n\). Multiplizieren wir jetzt alle Werte der Hauptdiagonalen von \(I\) mit der \(0 \in \mathbb R\), bekommen wir eine Matrix, die Rang \(0\) hat.
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chrispy
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Vielen Dank. Leider haben wir Eigenwerte nicht behandelt, sondern nur Definitheit. Was meinst du genau damit?
─
3inst3in
27.02.2020 um 16:27
Okay, dann betrachten wir die Definitheit. \(I\) ist positiv definit. Warum?
Eine Matrix \(A\) heißt positiv definit, falls \(x^T Ax > 0 \quad \forall x \in \mathbb R^{n}\backslash\{0\} \)
Negativ definit entsprechend mit \(<\).
Mit \(A = I\) bekommen wir: \(x^T I x = x^T x = \Vert x \Vert_2^2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n , x \neq 0 \)
Mit \(A = 0\cdot I \) bekommen wir \(x^T (0\cdot I) x = 0 \not\lessgtr 0 \).
Bedeutet die Matrix ist nur noch semidefinit, was bedeutet, dass sie nicht mehr vollen Rang \(n \) hat. ─ chrispy 27.02.2020 um 16:38
Eine Matrix \(A\) heißt positiv definit, falls \(x^T Ax > 0 \quad \forall x \in \mathbb R^{n}\backslash\{0\} \)
Negativ definit entsprechend mit \(<\).
Mit \(A = I\) bekommen wir: \(x^T I x = x^T x = \Vert x \Vert_2^2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n , x \neq 0 \)
Mit \(A = 0\cdot I \) bekommen wir \(x^T (0\cdot I) x = 0 \not\lessgtr 0 \).
Bedeutet die Matrix ist nur noch semidefinit, was bedeutet, dass sie nicht mehr vollen Rang \(n \) hat. ─ chrispy 27.02.2020 um 16:38
Okay klasse! Vielen Dank!
─
3inst3in
27.02.2020 um 17:01