Explizite Form zu gegebener rekursiven Bildungsvorschrift einer Zahlenfolge finden

Aufrufe: 231     Aktiv: 11.09.2023 um 22:53
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Hallo, liebe Mathe-Helfer.
In unserer Ma-AG sind wir auf die folgende Zahlenfolge gestoßen:
$u_0 = 1, u_1 = 2,\;\;\; u_n = 2u_{n-1} + (2^{n-1} - 1)u_{n-2}$.
(Sie gibt die Anzahl $u_n$ aller Untergruppen von bestimmten Gruppen an.)

Zur "Abrundung" unseres Ergebnisses haben wir nach einer expliziten Vorschrift für $u_n$ gesucht - bisher vergeblich.
Vielleicht hat jemand von euch einen Tipp, wenigstens zu einer Quelle, die darüber etwas aussagt?
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1 Antwort
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Moin,

eine wirklich "schöne" Form scheint es nicht zu geben. Wie findet man das heraus? Es gibt eine relativ bekannt Online Datenbank für ganzzahlige Folgen (siehe hier). Da kann man mithilfe der ersten paar Folgenglieder (die man entweder händisch oder mit einem kleinen Programm berechnen kann) schauen, ob die Folge bekannt ist. In unserem Fall handelt es sich in der Tat um eine bekannt Folge (siehe hier). Beim Link stehen neben den verschiedenen Interpretationen der Folge (u.a. eure) auch unten einige explizite Formeln für das n-te Folgenglied, keine sieht aber in irgendeiner Weise schön aus.

LG
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Student, Punkte: 3.84K

 
Vielen Dank für die Mühe - auch wenn ich meine Hoffnung auf eine explizite Formel (im üblichen Sinne) nun begraben muss.
Ich bin dem Hinweis (2.Link) nachgegangen und stelle fest, dass eine gewisse "Explizität" durch q-Pochhammersymbole ausgedrückt werden könnte - durch Anwendung des sogenannten q-Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus. Das geht dann aber meinen AG-Kindern wohl doch etwas über die Hutschnur...   ─   user77e28f 11.09.2023 um 22:48
Ja, das denke ich auch   ─   fix 11.09.2023 um 22:53

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