Transitivität der Mächtigkeit von Mengen

Erste Frage Aufrufe: 77     Aktiv: vor 2 Tagen, 22 Stunden

0
Ich möchte die Transitivität der (geringeren) Mächtigkeit von Mengen zeigen, also: "Aus X<Y und Y<Z folgt X<Z" (wobei "X<Y" bedeutet, dass es eine injektive Abbildung von X auf Y, jedoch keine von Y auf X gibt)
gefragt

Punkte: 2

 

1
Die Komposition injektiver Abbildungen ist injektiv.   ─   zest vor 5 Tagen, 5 Stunden

Danke, soweit so gut. Aber was ist mit der Nichtexistenz einer injektiven Abbildung von Z zurück auf X, also das "strenge kleiner"   ─   user5d67aa vor 5 Tagen, 5 Stunden

Sind deine Mengen endlich?   ─   zest vor 5 Tagen, 4 Stunden

Nicht notwendigerweise.   ─   user5d67aa vor 5 Tagen, 4 Stunden
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Es seien \(f:X\to Y\) und \(g:Y\to Z\) injektive Funktionen, die nach Voraussetzung existieren.
Alles, was du brauchst, ist, dass die Komposition von injektiven Funktionen injektiv ist.

Behauptung: Es gibt eine Injektive Funktion \(h:X\to Z\)
Beweis: Nehme \(f\circ g\)

Behauptung: Es gibt keine Injektive Funktion \(\beta:Z\to X\)
Beweis per Widerspruch: Wenn es \(\beta\) gibt, dann ist die Funktion \(\beta \circ f:Z\to Y\) injektiv und es gilt \( Y\not< Z \).

Grüße
cunni
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 425

 

Kommentar schreiben