(Twitter)
0
Hallo,
was für eine Art von Reihe liegt denn hier vor? Welche Krtierien kennst du um so eine Art von Reihe auf Konvergenz zu untersuchen?
Grüße Christian
was für eine Art von Reihe liegt denn hier vor? Welche Krtierien kennst du um so eine Art von Reihe auf Konvergenz zu untersuchen?
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
ich hätte es mit dem quotientenkriterium versucht
─
leon20
06.12.2021 um 13:07
Fangen wir vorne an, was für eine Art von Reihe ist das?
─
christian_strack
06.12.2021 um 13:10
eine geometrische reihe?
─
leon20
06.12.2021 um 13:13
Eine Reihe der Form $ \sum a_k x^k $ nennt man Potenzreihe.
Potenzreihen sind also solche Reihen, die eine Variable dabei haben.
Schon mal gehört? ─ christian_strack 06.12.2021 um 13:14
Potenzreihen sind also solche Reihen, die eine Variable dabei haben.
Schon mal gehört? ─ christian_strack 06.12.2021 um 13:14
ah ja stimmt
─
leon20
06.12.2021 um 13:18
Habt ihr dafür eigene Kriterien behandelt? In der Regel lernt man 2 Stück.
─
christian_strack
06.12.2021 um 13:19
also wir hatten insgesamt zu den Reihen das Vergleichskriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und Leibnizkriterium. Ich weiß jedoch nicht, ob ich eins dieser Kriterien für Potenzreihen anwenden kann.
─
leon20
06.12.2021 um 13:26
Prinzipiell ja, aber man muss sehr vorsichtig sein, da $x$ eine Veränderliche ist und deshalb die Lösung nicht gleich bleibt.
Deshalb entstehen aus diesen Kriterien 2 spezielle Kriterien für Potenzreihen. Diese Kriterien sagen nicht mehr aus, ob eine Reihe konvergiert, sondern für welche $x$ sie konvergiert (falls sie es überhaupt tut).
Die Formel die immer funktioniert ist die Formel von Cauchy-Hadamard. Schon mal gehört/gesehen?
$$ r=\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)} $$ ─ christian_strack 06.12.2021 um 13:32
Deshalb entstehen aus diesen Kriterien 2 spezielle Kriterien für Potenzreihen. Diese Kriterien sagen nicht mehr aus, ob eine Reihe konvergiert, sondern für welche $x$ sie konvergiert (falls sie es überhaupt tut).
Die Formel die immer funktioniert ist die Formel von Cauchy-Hadamard. Schon mal gehört/gesehen?
$$ r=\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)} $$ ─ christian_strack 06.12.2021 um 13:32
nein noch nie gehört :O. Ich glaube wir sollen das auch mit den 4 Kriterien machen, die ich oben genannt hatte.
─
leon20
06.12.2021 um 13:35
Alles klar dann ist das vermutlich eine Aufgabe die dich auf das Thema vorbereiten soll. Kein Problem. Diese Formel entsteht nämlich aus einer der dir bekannten Kriterien.
Wenn du eine Reihe hast und die Koeffizientenfolge dieser Reihe hat irgendwas der Art $(\ldots)^k$, dann bietet sich fast immer das Wurzelkriterium an. Denn die Wurzel lässt dieses nervig hoch k verschwinden. Wende das doch mal hier an.
Als Tipp:
$$ \left( \frac {-9k -10} {10k} \right)^k \cdot x^k = \left( \frac {-9k -10} {10k} \cdot x \right)^k $$ ─ christian_strack 06.12.2021 um 13:44
Wenn du eine Reihe hast und die Koeffizientenfolge dieser Reihe hat irgendwas der Art $(\ldots)^k$, dann bietet sich fast immer das Wurzelkriterium an. Denn die Wurzel lässt dieses nervig hoch k verschwinden. Wende das doch mal hier an.
Als Tipp:
$$ \left( \frac {-9k -10} {10k} \right)^k \cdot x^k = \left( \frac {-9k -10} {10k} \cdot x \right)^k $$ ─ christian_strack 06.12.2021 um 13:44
ok danke ich werde es versuchen.
─
leon20
06.12.2021 um 13:48