Reihe untersuchen Konvergenz

Aufrufe: 100     Aktiv: 06.12.2021 um 17:59

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Moin,
Wie kann ich folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen? Wie muss ich dann den Ausdruck vereinfachen mit dem jeweiligen Kriterium?



Vielen Dank im voraus
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Student, Punkte: 14

 

ich frage mich, wie man Übungen zur Konvergenz von (Potenz-)Reihen bearbeiten soll, wenn man in der Vorlesung darüber nichts gehört hat!?   ─   mathe24 06.12.2021 um 15:19

Es kann eine einleitende Aufgabe sein. Diese Aufgabe ist auch lösbar ohne direkte Kenntnisse über Potenzreihen. Mit Wissen über das Wurzelkriterium, Ungleichungen und dem Betrag ist diese Aufgabe lösbar.   ─   christian_strack 06.12.2021 um 17:59
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Hallo,

was für eine Art von Reihe liegt denn hier vor? Welche Krtierien kennst du um so eine Art von Reihe auf Konvergenz zu untersuchen?

Grüße Christian
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.57K

 

ich hätte es mit dem quotientenkriterium versucht   ─   leon20 06.12.2021 um 13:07

Fangen wir vorne an, was für eine Art von Reihe ist das?   ─   christian_strack 06.12.2021 um 13:10

eine geometrische reihe?   ─   leon20 06.12.2021 um 13:13

Eine Reihe der Form $ \sum a_k x^k $ nennt man Potenzreihe.
Potenzreihen sind also solche Reihen, die eine Variable dabei haben.

Schon mal gehört?
  ─   christian_strack 06.12.2021 um 13:14

ah ja stimmt   ─   leon20 06.12.2021 um 13:18

Habt ihr dafür eigene Kriterien behandelt? In der Regel lernt man 2 Stück.   ─   christian_strack 06.12.2021 um 13:19

also wir hatten insgesamt zu den Reihen das Vergleichskriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und Leibnizkriterium. Ich weiß jedoch nicht, ob ich eins dieser Kriterien für Potenzreihen anwenden kann.   ─   leon20 06.12.2021 um 13:26

Prinzipiell ja, aber man muss sehr vorsichtig sein, da $x$ eine Veränderliche ist und deshalb die Lösung nicht gleich bleibt.
Deshalb entstehen aus diesen Kriterien 2 spezielle Kriterien für Potenzreihen. Diese Kriterien sagen nicht mehr aus, ob eine Reihe konvergiert, sondern für welche $x$ sie konvergiert (falls sie es überhaupt tut).
Die Formel die immer funktioniert ist die Formel von Cauchy-Hadamard. Schon mal gehört/gesehen?
$$ r=\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)} $$
  ─   christian_strack 06.12.2021 um 13:32

nein noch nie gehört :O. Ich glaube wir sollen das auch mit den 4 Kriterien machen, die ich oben genannt hatte.   ─   leon20 06.12.2021 um 13:35

Alles klar dann ist das vermutlich eine Aufgabe die dich auf das Thema vorbereiten soll. Kein Problem. Diese Formel entsteht nämlich aus einer der dir bekannten Kriterien.

Wenn du eine Reihe hast und die Koeffizientenfolge dieser Reihe hat irgendwas der Art $(\ldots)^k$, dann bietet sich fast immer das Wurzelkriterium an. Denn die Wurzel lässt dieses nervig hoch k verschwinden. Wende das doch mal hier an.
Als Tipp:
$$ \left( \frac {-9k -10} {10k} \right)^k \cdot x^k = \left( \frac {-9k -10} {10k} \cdot x \right)^k $$
  ─   christian_strack 06.12.2021 um 13:44

ok danke ich werde es versuchen.   ─   leon20 06.12.2021 um 13:48

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