Gruppen, Gruppenhomomorphismus

Aufrufe: 127     Aktiv: 11.11.2022 um 21:38

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Auf die Menge X = R2 \ {(0, 0)} betrachten wir folgende Verknüpfung:
(a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc).

Beweisen Sie: Die Abbildung f : R X, f (t) = (cos t, sin t) ist ein Gruppenhomomorphismus (dabei wird R
mit der Addition als Verknüpfung eine Gruppe). Bestimmen Sie auch ker f.

Gruppenhomomorphismus gilt wenn:

f(ab)= f(a) f(b)
Hier habe ich probiert:
f(t1 mal t2) = f(t1) mal f(t2)
f(t1) = (cos(t1),sin(t1)
f(t2) = (cos(t2), sin(t2))
Dann habe versucht das irgendwie in das obige einzusetzen
f(t1 mal t2) = (cos(t1),sin(t1)) mal (cos(t2),sin(t2))

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Student, Punkte: 26

 
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2 Antworten
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Hier geht so einiges schief. Erstmal setzt du falsch ein, weil du ja $t_1+ t_2$ ($R$ ist mit der Addition eine Gruppe) einsetzen musst. Hast du nicht gemacht. Und zweitens verwendest du auch nicht die richtige Verknüpfung. "Mal" gerechnet wird hier nämlich nicht. Die Verknüpfung für $X$ ist definiert.
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Selbstständig, Punkte: 26.5K

 

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Du hast bei den Anfängen einige richtige Ideen.
Halte aber auseinander, was Du schon weißt, und was Du zeigen musst (schreib das dabei, z.B. "zu zeigen:....", "wir wissen:..."
$f:R\longrightarrow X$, aber bei der Eigenschaft des G-Hom musst Du die vorgegebene Verknüpfung auf R berücksichtigen. Die ist ja angegeben...
Damit sollte es dann klappen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 31.54K

 

wäre es dann also: für f(t1) verknüpft mit f(t2)
(cos(t1) mal cos(t2) - sin(t1) mal sin(t2) , cos(t1) mal sin(t2) + sin(t1) mal cos(t2)) ?
  ─   ramy69 10.11.2022 um 22:03

Ja, aber schreib alles Schritt für Schritt hin für den Nachweis.   ─   mikn 10.11.2022 um 22:05

ok alles klar. vielen dank
ich frage ich jetzt nur wie ich das f(t1 verknüpft mit t2) hinschreibe
  ─   ramy69 10.11.2022 um 22:07

Es gibt hier zwei Mengen, R und X, jede hat seine eigene Verknüpfung. Die von R steht wie gesagt in der Aufgabe, findest Du bestimmt. Dann schreib auf:
$f(t_1...t_2)=... =... = ... = f(t_1)\circ f(t_2)$, also in einer Gleichungskette. Die ersten ... stehen für die von Dir noch zu findende Verknüpfung.
  ─   mikn 10.11.2022 um 22:12

ah ja das ist + für R. hab ich übersehen

Hat geklappt danke!!!!! hatte ein brett vor dem Kopf. Das umdenken in verknüpfungen fällt mir noch etwas schwer.
  ─   ramy69 10.11.2022 um 22:16

Gut, freut mich. ker f sollst Du auch noch bestimmen, hoffe das klappt auch.
Das mit den Verknüpfungen ist reine Gewöhnung, da ist nichts tiefes dahinter. Aber eine Frage: Macht man das wirklich auf der Schule?
  ─   mikn 10.11.2022 um 22:33

ne bin student. sollte das mal ändern. ja ker f hat auch geklappt   ─   ramy69 11.11.2022 um 21:38

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