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Auf die MengeX=R2\ {(0,0)}betrachten wir folgende Verknüpfung: (a, b)◦(c, d) = (ac−bd, ad+bc).
Beweisen Sie: Die Abbildungf:R→X,f(t) =(cost,sint)ist ein Gruppenhomomorphismus (dabei wirdR mit der Addition als Verknüpfung eine Gruppe). Bestimmen Sie auchkerf.
Gruppenhomomorphismus gilt wenn:
f(ab)= f(a) f(b) Hier habe ich probiert: f(t1 mal t2) = f(t1) mal f(t2) f(t1) = (cos(t1),sin(t1) f(t2) = (cos(t2), sin(t2)) Dann habe versucht das irgendwie in das obige einzusetzen f(t1 mal t2) = (cos(t1),sin(t1)) mal (cos(t2),sin(t2))
Hier geht so einiges schief. Erstmal setzt du falsch ein, weil du ja $t_1+ t_2$ ($R$ ist mit der Addition eine Gruppe) einsetzen musst. Hast du nicht gemacht. Und zweitens verwendest du auch nicht die richtige Verknüpfung. "Mal" gerechnet wird hier nämlich nicht. Die Verknüpfung für $X$ ist definiert.
Du hast bei den Anfängen einige richtige Ideen. Halte aber auseinander, was Du schon weißt, und was Du zeigen musst (schreib das dabei, z.B. "zu zeigen:....", "wir wissen:..." $f:R\longrightarrow X$, aber bei der Eigenschaft des G-Hom musst Du die vorgegebene Verknüpfung auf R berücksichtigen. Die ist ja angegeben... Damit sollte es dann klappen.
wäre es dann also: für f(t1) verknüpft mit f(t2) (cos(t1) mal cos(t2) - sin(t1) mal sin(t2) , cos(t1) mal sin(t2) + sin(t1) mal cos(t2)) ?
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ramy69
10.11.2022 um 22:03
Ja, aber schreib alles Schritt für Schritt hin für den Nachweis.
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mikn
10.11.2022 um 22:05
ok alles klar. vielen dank ich frage ich jetzt nur wie ich das f(t1 verknüpft mit t2) hinschreibe
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ramy69
10.11.2022 um 22:07
Es gibt hier zwei Mengen, R und X, jede hat seine eigene Verknüpfung. Die von R steht wie gesagt in der Aufgabe, findest Du bestimmt. Dann schreib auf: $f(t_1...t_2)=... =... = ... = f(t_1)\circ f(t_2)$, also in einer Gleichungskette. Die ersten ... stehen für die von Dir noch zu findende Verknüpfung.
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mikn
10.11.2022 um 22:12
ah ja das ist + für R. hab ich übersehen
Hat geklappt danke!!!!! hatte ein brett vor dem Kopf. Das umdenken in verknüpfungen fällt mir noch etwas schwer.
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ramy69
10.11.2022 um 22:16
Gut, freut mich. ker f sollst Du auch noch bestimmen, hoffe das klappt auch. Das mit den Verknüpfungen ist reine Gewöhnung, da ist nichts tiefes dahinter. Aber eine Frage: Macht man das wirklich auf der Schule?
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mikn
10.11.2022 um 22:33
ne bin student. sollte das mal ändern. ja ker f hat auch geklappt
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ramy69
11.11.2022 um 21:38
(cos(t1) mal cos(t2) - sin(t1) mal sin(t2) , cos(t1) mal sin(t2) + sin(t1) mal cos(t2)) ? ─ ramy69 10.11.2022 um 22:03