Parallele Eulergerade $\tan(B) \cdot \tan(C)=3$

Aufrufe: 248     Aktiv: 10.11.2023 um 00:31

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Guten Abend zusammen,

ich möchte folgende Aussage beweisen:

In einem Dreieck \( A B C \) sei die Eulersche Gerade parallel zur Seite \( B C \). Zeigen Sie, dass gilt:

\(\tan B \cdot \tan C=3 .\)

 

Ich hab mir das Ganze einmal an einem Beispiel in GeoGebra veranschaulicht: https://www.geogebra.org/classic/rfuamvkg

Jetzt wird der Sachverhalt leider noch verkompliziert dadurch, dass das Dreieck $ABC$ keinen rechten Winkel haben muss. Das heißt ich soll für ein vollkommen allgemeines Dreieck diese Aussage zeigen und ich bin da um ehrlich zu sein ein wenig überfragt, welche Abhängigkeitsverhältnisse ich irgendwo ausnutzen könnte. Würde ich z.B. auf $\tan(B)$kommen wollen, könnte ich rechnen:
$|AP|=\tan(B) \cdot |BP|$, dafür müsste ich aber Aussagen zur Lage vom Höhenschnittpunkt im Dreieck treffen können. Das einzige was ich aber neben der Definition vom Höhenschnittpunkt sagen kann, wäre $|US|=2 \cdot |SH|$. Das hilft mir aber auch nur auf der Eulergerade weiter, nicht aber im Dreieck. 

Wäre toll, wenn mir da jemand ein Anstupser geben könnte, ob ich irgendwelche offensichtliche Abhängigkeitsverhältnisse übersehe.

 

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Was soll denn tan von einem Punkt sein?   ─   mikn 08.11.2023 um 19:29

Notation: Gemeint ist der Innenwinkel des Dreiecks am Punkt B bzw. C   ─   ulrichbeck 09.11.2023 um 08:14

Also $\beta$ bzw. $\gamma$.   ─   cauchy 09.11.2023 um 11:51

ja   ─   ulrichbeck 09.11.2023 um 13:53
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Geradengleichungen helfen!

Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass \(B=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right) \)  und \(C=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right) \).
Dann kann man sich die Geradengleichung von a  und b ausrechnen (siehe GeoGebra-Zeichnung):
Steigung von b = \(\tan \beta\), also ist b definiert durch: \(y = \tan(\beta) x\).
Steigung von a = \(-\tan \gamma\), also ist a definiert durch: \( y = -\tan(\gamma) (x-1)\).
Gleichsetzen dieser Geradengleichung liefert: A = Schnittpunkt von a und b = \(\left(\begin{array}{c}x_A\\y_A\end{array}\right) \) mit

\(\displaystyle x_A = \frac{\tan \gamma}{\tan \beta + \tan \gamma},\;\;
y_A = \frac{\tan \beta \tan \gamma}{\tan \beta + \tan \gamma}\).

Die Seitenmitte von b ist dann \(\displaystyle \frac{A+B}2 = \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{c}x_A\\y_A\end{array}\right) \).

Die Mittelsenkrechte von b hat die Steigung \(-1/\tan\beta\), denn wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, ist das Produkt ihrer Steigungen gleich -1.
Also hat die Mittelsenkrechte von b die Geradengleichung:
\(\displaystyle s_b(x) = -\frac{1}{\tan\beta} \left(x-\frac{x_A}2\right) +\frac{y_A}2 \).
Die Gleichung für Mittelsenkrechte von c lautet einfach: \(x=1/2\). Das in \(s_b\) eingesetzt liefert die y-Koordinate des Mittelpunkt u des Umkreises.
\(\displaystyle y_u = -\frac{1}{\tan\beta} \left(\frac{1}2-\frac{x_A}2\right) +\frac{y_A}2 \).
Da der Schwerpunkt des Dreiecks immer \(m=(A+B+C)/3\) ist, ist der y-Koordinate von m immer \(y_m=y_A/3\).
Wenn die Eulergeraden parallel zu BC laufen soll, muss \(y_m=y_u\) sein.
Hieraus ergibt sich, wenn sich der Rauch der Mathematik verzogen hat, die Behauptung \(\tan\beta\tan\gamma=3\).
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