Integrale abschätzen

Aufrufe: 20     Aktiv: 04.05.2021 um 10:09

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Also da steht, dass ich das Integral durch das Produkt aus der Länge des Integrationsintervalls und dem Minimun des Integranden abschätzen kann. Gilt das immer? Also ist das irgendwie ein Satz? Und wieso ist das so? 

Danke und liebe Grüße!
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Solange das Minimum existiert (was zum Beispiel gegeben ist, wenn man eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall betrachtet), dann ist $$\int_a^bf(x)\,\mathrm dx\geq\int_a^b\min_{x\in[a,b]} f(x)\,\mathrm dx=\min_{x\in[a,b]}f(x)\int_a^b1\,\mathrm dx=\min_{x\in[a,b]}f(x)\cdot(b-a)$$ Dabei haben wir im ersten Schritt die Monotonie des Integrals verwendet und im zweiten Schritt, dass das Minimum nicht mehr von \(x\) abhängt. Also können wir es einfach aus dem Integral ziehen und berechnen nur noch das Integral über \(1\), was der Länge des Integrals entspricht.
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