Das sieht doch alles gut aus. Du willst am Ende den Faktor $3n+4$ im Nenner haben, den hattest Du schon. Aber wenn Du danach den Nenner ausmultiplizierst, bist Du lost. Also, immer das Ziel im Auge behalten, daher Nenner nicht ausmultiplizieren. Damit das Ziel erreicht wird, müsste sich also $3n+1$ aus dem Zähler rauskürzen lassen. Klammere das also im Zähler aus (oder einfacher: Schreib in einer NR hin, was es sein müsste und überprüfe, dass es das ist).

Multipliziere nur den Zähler aus, hier kann man ja nix ausklammern. Den Nenner lässt du faktorisiert und (da du das Ziel kennst) führst gezielt eine Polynomdivision (hoffe du kannst die) mit (3n+1) durch.
Falls du das nicht kannst, könnte man auch nachweisen, dass (n+1)(3n+1) das Zählerpolynom ergibt, ist aber keine sehr elegante Methode ;)