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Ich habe folgende Aufgabe erhalten:
Berechnen Sie: $ \bigcap_{n \in {N}} \{m \in {N} | m>n\}$
Leider haben wir die großen Vereinigungen/Schnitte nicht mathematisch, sondern nur erklärend in Worten eingeführt, deshlab weiß ich nicht so genau ob ich das richtig verstanden habe. Was ich glaube was es bedeutet:
Schnittmenge aller natürlichen Zahlen m, die größer als die natürliche Zahl n sind. Also:
$$ \bigcap_{n \in {N}} \{m \in {N} | m>n\} = \{\} $$, weil ja die einzelnen Zahlen alle unterschiedlich sind und nur sich selbst und die leere Menge als Teilmenge haben.
Eine andere Aufgabe war ähnlich nur mit der Vereinigung:
$$ \bigcup_{n \in {N}} \{m \in {N} | m<n\}$$ Darunter würde ich spontan die Vereinigung der natürlichen Zahlen bis zur Zahl n, also irgendeine unendliche Menge $M_n = \{1,2,3,4,...,n-1\}$ verstehen.

Da wollte ich einfach mal wissen ob das so hinhaut, oder ob ich mich ganz auf dem Holzweg befinde (und v.a. wie man sowas mathematisch ausdrücken kann)
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Hallo jkub,

natürlich muss man die mathematischen Definitionen der großen Vereinigung / des großen Schnitts kennen, um diese Aufgaben zu lösen. Hier sind sie:

Seien $I$ eine Menge und für jedes $i\in I$ eine Menge $M_i$ gegeben.
Dann definieren wir
$\bigcup_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\exists i\in I\colon x\in M_i\}$
(in Worten: Die Menge $\bigcup_{i\in I}M_i$ enthält genau die Elemente $x$, die in mindestens einer der Mengen $M_i$ liegen)
und im Falle $I\neq \emptyset$ auch
$\bigcap_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\forall i\in I\colon x\in M_i\}$
(in Worten: Die Menge $\bigcap_{i\in I}M_i$ enthält genau die Elemente $x$, die in allen Mengen $M_i$ liegen).

Kannst du diese Definitionen auf die gegebene Situation anwenden?
Melde dich gerne, wenn du weitere Hilfe benötigst.

Viele Grüße
Tobias
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Also die Definition von dem ganzen ist schonmal hilfreich, um das allgemein nachzuvollziehen. Jetzt haben sich mir dennoch ein paar Fragen ergeben, wenn ich meine Aufgabe mal "in die Form der Definition" bringen möchte, sähe das dann so aus: $M_n:= \{m | \exists n \in {N}: m \in M_n\}$? Desweiteren ist ja $M_n$ eine Indexmenge, in Abhängigkeit von $n \in {N}$, angenommen ich habe eine habe ein festes n, also auch eine endlich Menge, ist dann der Ansatz wie ich ihn oben, im Kommentar auf mikn gewählt habe, richtig?   ─   jkub 13.11.2021 um 11:28

Der Ansatz ist ja auch in Ordnung. Das einzige, was du die ganze Zeit nicht beachtest, ist die Tatsache, dass du eben kein festes $n$ hast, sondern die Mengen über alle $n \in \mathbb{N}$ gebildet wwerden. Hier liegen also ein unendlicher Schnitt bzw. eine unendliche Vereinigung vor. Und um zu verstehen, was da passiert, sollten eben mal die ersten Mengen notiert werden.   ─   cauchy 13.11.2021 um 14:35

Da ist ja genau das Problem, ich weiß ja nicht, wie man diese Zeichen "auflöst", um die einzelnen Mengen zu notieren, bzw. was genau mit den Zeichen überhaupt gemeint ist. Tobias hat netter Weise die Def. der Zeichen hier reingeschickt und das klärt zwar, was das ganze darstellen soll, aber mathematisch kann ich mir da einfach nicht viel darunter vorstellen. Da wäre irgendwie eine Veranschaulichung nützlich, aber in meiner gesamten Literatur und im Netz finde ich bis jetzt auch nur die Definition von diesem Zeichen, aber keine wirklich praktischen Beispiele (abgesehen von Vereinigungen die ${Q}$ oder ${R}$ ergeben) .   ─   jkub 13.11.2021 um 15:22

Du vereinigst einfach unendlich viele Mengen bzw. bildest den Schnitt von unendlich vielen Mengen. Mehr ist damit nicht gemeint. Wie die Mengen im einzelnen Aussehen, steht ja dabei. Beispielsweise ist $\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}\{n\}=\{1\}\cup\{2\}\cup\dots=\mathbb{N}$ und $ \bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}\{n\}=\{1\}\cap\{2\}\cap\dots=\emptyset$.   ─   cauchy 13.11.2021 um 15:48

Hallo jkub, erst einmal sorry für meine späte Reaktion, ich war heute unterwegs.

Wenn wir für jede natürliche Zahl $n$ eine Menge $M_n$ gegeben haben, ist per Definition der großen Vereinigung $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}M_n=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}$ (in deinem ersten Kommentar zu meiner Antwort hattest du das $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}$ vergessen). Das ist nichts anderes als die von mir angegebene Definition der großen Vereinigung angewendet auf den Spezialfall $I=\mathbb{N}$. (Die Menge $I$ nennt man in diesem Zusammenhang auch Indexmenge, ihre Elemente Indizes.)

Im Beispiel der Aufgabe suchen wir $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$, also $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n$ für den Spezialfall der Mengen $M_n:=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$. Also gilt per Definition $M_0=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<0\}=\ldots$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<0$?), $M_1=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<1\}=...$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<1$?), $M_2=\{m\in\mathbb{N}\;|\; m<2\}=...$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<2$?), $M_3=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<3\}$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<3$?), usw. (gerne noch z.B. bis $n=5$ fortführen).
In Worten ist die große Vereinigung $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n$ die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen $M_n$ enthalten sind.
Wenn du korrekt verstanden hast, wie die Mengen $M_n:=\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$ jeweils aussehen (1. Schritt), hast du vielleicht eine Vermutung, welche Objekte in mindestens einer der Mengen $M_0,M_1,M_2,M_3,...$ liegen (2. Schritt). Diese Vermutung gilt es dann zu beweisen (3. Schritt).

Alternativ kommt man hier auch mit sturem Einsetzen relativ weit:
Es gilt $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in \{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\}=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon(x\in\mathbb{N}\wedge x< n)\}$.
Also ist $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ die Menge aller Objekte $x$, für die es eine natürliche Zahl $n$ gibt mit $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$.
Welche Objekte $x$ haben diese Eigenschaft? Haben Objekte $x$, die gar keine natürlichen Zahlen sind, diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=0$ diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=1$ diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=2$ diese Eigenschaft? ...
Schreibe dir zur Beantwortung dieser Fragen am besten die Eigenschaft "es existiert eine natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$" konkret für das jeweilige $x$ hin.

Kommst du mit einem der beiden von mir vorgeschlagenen Ansätze weiter?
  ─   tobit 13.11.2021 um 22:18

Zur Veranschaulichung von der großen Vereinigung möchte ich ein Beispiel bringen, dass unabhängig von der Aufgabenstellung ist: Nehmen wir mal eine endliche Indexmenge $I=\{1,2,3\}$ und folgende Mengen von mathefragen.de-Usern: $A_1:=\{\text{jkub}, \text{tobit}\}$, $A_2:=\{\text{jkub},\text{mikn}\}$, $A_3:=\{\text{jkub},\text{cauchy}\}$. Dann ist $\bigcup_{i\in\{1,2,3\}} A_i$ die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen $A_1,A_2,A_3$ liegen und somit $\bigcup_{i\in\{1,2,3\}} A_i=\{\text{jkub},\text{tobit},\text{mikn},\text{cauchy}\}$,

Was hat $\bigcup_{i\in I}B_i$ für Mengen $B_i$ nun mit der "gewöhnlichen" Vereinigung $\cup$ zweier Mengen zu tun?
Im Spezialfall $I=\{1,2\}$ gilt für alle Mengen $B_1$ und $B_2$ die Beziehung $\bigcup_{i\in\{1,2\}}B_i=B_1\cup B_2$.
In diesem Sinne kann man die gewöhnliche Vereinigung zweier Mengen als Spezialfall der großen Vereinigung ansehen bzw. umgekehrt die große Vereinigung als Verallgemeinerung der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen ansehen.

Allgemeiner gilt für alle natürlichen Zahlen $k$ und Mengen $B_1,B_2,B_3,..., B_k$:
$\bigcup_{i\in\{1,2,3,\ldots,k\}}B_i=(...((B_1\cup B_2)\cup B_3)...)\cup B_k$.
In diesem Sinne entspricht für endliche Indexmengen $I$ die große Vereinigung einer wiederholten gewöhnlichen Vereinigung.

Ist die Indexmenge $I$ jedoch unendlich (wie in den Beispielen der Aufgabenstellungen, wo $I=\mathbb{N}$ gilt), lässt sich die große Vereinigung $\bigcup$ i.A. wohl kaum mithilfe der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen umschreiben.
In diesem Sinne ermöglicht die große Vereinigung nicht nur eine kompaktere Schreibweise von endlichen Vereinigungen (d.h. endlich-malige Vereinigung zweier Mengen), sondern erlaubt auch Vereinigungen unendlich vieler Mengen, die sich gar nicht mit der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen ausdrücken lassen..
  ─   tobit 13.11.2021 um 22:47

Lieber tobit, vielen vielen lieben Dank für diese ausführliche Erklärung, ich denke, dass ich das ganze jetzt verstanden habe, ich gehe es mal trotzdem noch einmal durch.
$M_0: = \{m \in {N} | m < 0\}$ gilt für kein m
$M_1: = \{m \in {N} | m < 1\}$ gilt für m=0 (bei uns ist $0 \in {N}$)
$M_2: = \{m \in {N} | m < 2\}$ gilt für m=0 und 1
$M_3: = \{m \in {N} | m < 3\}$ gilt für m = 0,1 und 2
$M_4: = \{m \in {N} | m < 4\}$ gilt für m = 0,1,2 und 3
...
Wenn das n nun gegen unendlich läuft und ich alles vereinige, erhalte ich also einfach wieder die natürlichen Zahlen.
$M_0: = \{m \in {N} | m > 0\}$ gilt für alle m>0 -> 1,2,3,4,5...
$M_1: = \{m \in {N} | m > 1\}$ gilt für m>1 -> 2,3,4,5,6,...
$M_2: = \{m \in {N} | m > 2\}$ gilt für m>2 -> 3,4,5,6,7...
$M_3: = \{m \in {N} | m > 3\}$ gilt für m >3 -> 4,5,6,7,8...
$M_4: = \{m \in {N} | m > 4\}$ gilt für m >4 -> 5,6,7,8,9,...
...
Von der "vorderen Seite" wird sozusagen immer eine Zahl weggenommen und hinten läuft das sowieso nach unendlich. Dadurch müsste ja der Schnitt die leere Menge sein
  ─   jkub 14.11.2021 um 13:48

Hallo jkub, das sieht gut aus. :-)

Du hast jetzt offenbar korrekt verstanden, aus welchen Elementen die zu vereinigenden / schneidenden Mengen bestehen. Z.B. die Menge $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<4\}$ besteht genau aus den natürlichen Zahlen 0,1,2 und 3, so dass du $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<4\}=\{0,1,2,3\}$ schreiben könntest. Damit ist "Schritt 1." von dir erledigt.
Dann hast du intuitiv richtig die gesuchten Mengen $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$ ermittelt, nämlich $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}=\mathbb{N}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m> n\}=\emptyset$. Damit ist auch "Schritt 2." erfolgreich bewältigt!

Fehlt nur noch "Schritt 3.", ein Beweis der Vermutung, dass tatsächlich $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}=\mathbb{N}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m> n\}=\emptyset$ gelten.
Zum Nachweis der Gleichheit mit $\bigcup$ zeigen wir wie üblich zum Nachweis der Gleichheit der beiden Mengen nacheinander die beiden Inklusionen "$\subseteq$" und "$\supseteq$", woraus dann die Gleichheit folgt.
Nachweis von $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}\subseteq\mathbb{N}$: Sei $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$. Zu zeigen ist $x\in\mathbb{N}$. Wegen $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$ existiert ein $n\in\mathbb{N}$ mit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$. Letzteres bedeutet $x\in\mathbb{N}$ mit $x< n$. Insbesondere gilt also wie gewünscht $x\in\mathbb{N}$.
Nachweis von $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\supseteq \mathbb{N}$: Sei $x\in\mathbb{N}$. Zu zeigen ist $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m < n\}$. Wir müssen also ein $n\in\mathbb{N}$ finden mit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m < n\}$, d.h. mit $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$. (Die Bedingung $x\in\mathbb{N}$ gilt sowieso nach Wahl von $x$.) Die Frage ist somit noch: Finden wir tatsächlich zu jeder natürlichen Zahl $x$ eine natürliche Zahl $n$ mit $x< n$? Hast du eine Idee, wie wir zu einer beliebigen natürlichen Zahl $x$ eine natürliche Zahl $n$ finden mit $x< n$?
Zum Nachweis von $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}=\emptyset$ genügt es, die Annahme der Existenz eines $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$ zum Widerspruch zu führen. Angenommen also, es gibt doch ein $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$. Dann gilt z.B. insbesondere $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> 1\}$ und damit insbesondere $x\in\mathbb{N}$. Wir haben somit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\; m > n\}$ insbesondere für $n:=x$, d.h. $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m > x\}$, d.h. $x\in\mathbb{N}$ mit $x>x$. Im Widerspruch dazu wissen wir jedoch, dass $x>x$ nicht gelten kann (es gibt nämlich gar keine natürliche Zahl $y$ mit $y>y$).
  ─   tobit 14.11.2021 um 17:04

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Eigentlich schade, dass nach so viel Vorarbeit nun der vollständige Beweis geliefert wird...   ─   cauchy 14.11.2021 um 17:26

Ja, aber an einigen Stellen ist dieser Beweis unnötig kompliziert, an anderen bewusst lückenhaft (damit der Frager noch etwas selbst tut) und Tippfehler sind auch drin. Da darf also mitgedacht werden, und das ist ja zu begrüßen ;-)   ─   mikn 14.11.2021 um 17:38

Hallo cauchy und mikn,
zunächst danke für den Hinweis auf die Tippfehler. Ich hoffe, nun alle gefunden und korrigiert zu haben. Wenn nicht, bitte ich noch einmal um einen entsprechenden Hinweis.
Ich finde es sehr gut, dass in diesem Forum die Fragesteller durch Selbsttun viel lernen können. :-) Im Falle dieser Aufgabe hat jkub Schritte 1. und 2. mit der Hilfe von uns dreien aus meiner Sicht erfolgreich selbst gelöst; hier habe ich in meinem vorherigen Kommentar lediglich Hilfestellung in Sachen endgültiger Formulierung gegeben. Einen formalen Beweis (Schritt 3.) habe ich in der Tat zu weiten Teilen vorgegeben, u.a. weil ich diesen formalen Beweis nicht für den Schwerpunkt der Aufgabenstellung hielt und nicht sicher weiß, ob er überhaupt verlangt ist. Ich habe mir aber für die Zukunft vorgenommen, noch mehr darauf zu achten, nicht zu viel vorzugeben. Also Danke auch für diesen Hinweis.
@mikn Kannst du mir mindestens ein Beispiel für eine Stelle nennen, an der ich unnötig kompliziert argumentiere? Natürlich habe ich eine relativ detaillierte Form gewählt, die Argumentation darzustellen (vor allem aus didaktischen Gründen). Ich glaube jedoch nicht, dass es inhaltlich einfacher geht, lasse mich aber gerne eines Besseren belehren. :-)
  ─   tobit 15.11.2021 um 04:35

@tobit: Zum Nachweis von $\subseteq$ reicht es festzustellen, dass die Vereinigung von Teilmengen von N natürlich wieder eine Teilmenge von N ist.
Diesen Nachweis über zwei Richtungen und Argumentation über die Elemente halte ich für zu kompliziert. Es suggeriert, dass eine unendliche Vereinigung was prinzipiell anderes ist als eine endliche. Daran glaubte ja der Frager, und das bestärkt ihn.
Ich finde die Lösung sich zu überlegen, was die endliche Vereinigung $\bigcup_{i=1}^n$ ist, viel einfacher und einleuchtender. Das kann man notfalls (falls man für das nötig hält) mit Induktion beweisen. Jedenfalls braucht man keine zwei Richtungen dafür.
Und ich würde nicht in einer Aufgabe zweimal die gleiche Notation M_i verwenden.
Ich wollte den Frager von alldem überzeugen, aber er suchte ja eine kompliziertere Lösung, die hast Du geliefert und damit ist er zufrieden. Vorurteil "Mathe ist kompliziert" bestätigt.
  ─   mikn 15.11.2021 um 11:25

Hallo mikn!

Danke für deinen Kommentar! :-)

"Zum Nachweis von ⊆ reicht es festzustellen, dass die Vereinigung von Teilmengen von N natürlich wieder eine Teilmenge von N ist."
Das gibt einen konzeptionelleren Beweis, während ich einen direkteren Weg gewählt habe, der ohne besondere Ideen auskommt. Bei deinem Vorschlag ist zu überlegen, dass $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\subseteq\mathbb{N}$ gilt und vor allem die Hilfsaussage "jede Vereinigung von Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist eine Teilmenge von $\mathbb{N}$" zu formulieren und zu beweisen. Insgesamt wird der Beweis so etwas länger und "aufgegliederter".

"Diesen Nachweis über zwei Richtungen und Argumentation über die Elemente halte ich für zu kompliziert"
Du wirst wohl kaum ohne zwei Richtungen und Elemente-Argumentationen (an irgendeiner Stelle) auskommen.

"Es suggeriert, dass eine unendliche Vereinigung was prinzipiell anderes ist als eine endliche. Daran glaubte ja der Frager, und das bestärkt ihn."
Die große Vereinigung IST nun mal anders definiert als die Vereinigung zweier Mengen und insofern etwas anderes. Ob dieser Unterschied "prinzipiell" ist, überlasse ich den Philosophen... :-)

"Ich finde die Lösung sich zu überlegen, was die endliche Vereinigung $\bigcup_{i=1}^n$ ist, viel einfacher und einleuchtender."
Ich sehe nicht, wie einem die Bestimmung von endlichen Vereinigungen bei der Lösung der konkreten Aufgabe weiterhelfen soll... :-(

"Das kann man notfalls (falls man für das nötig hält) mit Induktion beweisen. Jedenfalls braucht man keine zwei Richtungen dafür."
Doch, zumindest wohl im Induktionsschritt!

"Und ich würde nicht in einer Aufgabe zweimal die gleiche Notation M_i verwenden."
Ich auch nicht. Aber wenn jkub die beiden Aufgaben als getrennte Aufgaben sieht und in beiden Fällen die Abkürzung $M_n$ in unterschiedlichen Bedeutungen benutzt, sehe ich auch kein Problem darin.

"Ich wollte den Frager von alldem überzeugen, aber er suchte ja eine kompliziertere Lösung, die hast Du geliefert und damit ist er zufrieden."
Ich finde es nicht angebracht, jkub vorzuwerfen, er habe eine kompliziertere Lösung gesucht. Zumal es ja offenbar keine einfachere Lösung gibt.

"Vorurteil "Mathe ist kompliziert" bestätigt."
Ich habe mich öfters über Professoren geärgert, die sagten "ist trivial", "wie man sofort sieht", "natürlich"... Aber das ist ein anderes Thema... ;-)

Ich schätze deine Beiträge im Forum hier grundsätzlich sehr. Hier scheinst du aber irgendwie eine "Lösung" der Aufgabe mithilfe endlicher Vereinigungen im Kopf zu haben, was jedoch wohl mathematisch nicht funktioniert.

Viele Grüße
Tobias
  ─   tobit 15.11.2021 um 19:06

Gut, wenn Du das besser weißt, dann ist es schon richtig, dass Du bei Deinem Beweis bleibst.   ─   mikn 15.11.2021 um 19:54

Das wesentliche Problem bei dieser Aufgabe war aber gerade der Umstand, dass dem Frage der Unterschied zwischen der endlichen und unendlichen Vereinigung nicht klar war, da er ja immer nur von einem fixen $n$ ausgegangen ist. :)   ─   cauchy 15.11.2021 um 21:01

Hallo mikn!

Ich habe den Eindruck, du siehst deinen Irrtum noch nicht. Ich finde es nicht schlimm, sich auch mal zu irren. Ich traue dir aber zu, den Irrtum selbst zu sehen: Angenommen ich habe nun $\bigcup_{i=1}^n\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< i\}=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ für alle $n\in\mathbb{N}$ induktiv bewiesen oder intuitiv eingesehen, wie von dir vorgeschlagen (meinetwegen auch für kleine $n$ ausgeschrieben). Wie hilft mir das nun weiter, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ zu bestimmen? Siehst du nun, dass du auf ein Problem läufst? Falls nicht: Versuche mal bitte zu erklären, wie du $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ nun berechnen würdest und wie du dein Ergebnis auf Nachfrage begründen würdest.

Man kann unterschiedlicher Meinung hinsichtlich des erwarteten Detailgrades der Formulierung eines Beweises sein. Aber unter Mathematikern sollte es einen Grundkonsens geben, welche inhaltlichen Argumentationen gültig sind und welche nicht.

Viele Grüße
Tobias
  ─   tobit 16.11.2021 um 03:45

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Du versuchst direkt zu verstehen, was gemeint ist. Das ist schwierig, wenn man damit nicht vertraut ist.
Schreib doch einfach die unendliche Vereinigung bzw. Schnitt aus, das große Symbol ist ja nur eine Abkürzung.
Also: Menge für n=1 vereinigt Menge für n=2 vereinigt....(mind. bis n=5).... = (Mengen konkret hinschreiben) = Ergebnis.
Das gleiche mit dem Schnitt.
Dein Ergebnis für die Vereinigung kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Ergebnis ja nicht von n abhängt (genau aus demselben Grund, warum das Ergebnis einer Schleife beim Programmieren nicht vom Namen der Laufvariable abhängt).
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Hallo mikn, was meinst du mit einer Notation wie $M_1\cup M_2\cup M_3\cup M_4\cup M_5\cup\ldots$ für Mengen $M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,\ldots$? Soll diese Notation irgendetwas mit der Vereinigung $\cup$ zweier Mengen zu tun haben?   ─   tobit 13.11.2021 um 07:49

Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das so richtig verstanden habe, aber ich schreibe es mal hin:
Seien $M_0,M_1, M_2, M_3, M_4,M_5$ Mengen mit m Elementen, also:
$M_0 = \{\}, M_1 = \{1\},M_2 = \{1,2\},M_3 = \{1,2,3\},M_4 = \{1,2,3,4\},M_5 = \{1,2,3,4,5\}$, wenn ich die alle unter der Voraussetzung $m< n$ vereinige dann sähe das ja so aus:
$M_0 \cup M_1 \cup M_2 \cup M_3 \cup M_4 = M_4$ (für n=1 bis n=5), aber das bringt mich ja wieder zudem, was ich oben geen Schnitt sieht das jetzt ja etwas anders aus, für $m>n$:
$M_2 \cap M_3 \cap M_4 \cap M_5 \cap M_6 = M_5$ (für n=1 bis n=5)
  ─   jkub 13.11.2021 um 11:11

Es steht einmal Schnitt über gewisse M_n da, einmal Vereinigung. Aber die M_n sind nicht die gleichen bei den beiden Teilaufgaben.
Nehmen wir die Vereinigung, dort ist $M_n=\{m | m \lt n\}$. Das ist Deine erste Reihe von M_n. Das vereinige nun, erst schrittweise, dann bis unendlich.
Beim Schnitt analog aber dort sind es andere M_n.
  ─   mikn 13.11.2021 um 15:49

Der liebe cauchy hat da unten was hilfreiches zu geschrieben, also wenn wir das mal step by step für den Schnitt machen:
Ich scheide also alle Zahlen, für die die Bedingung $m>n$, wobei $n \in {N}$ erfüllt ist. Cauchy meinte noch unten, dass ich die fehlerhafte Annahme träfe, n sei eine feste Zahl, allerdings weiß ich um ehrlich zu sein nicht, wie die Bedingung $m>n$ überhaupt erfüllt werden soll, wenn n keine feste Zahl ist. Jetzt zum Schnitt:
Wenn ich beliebige, unterschiedliche, nat. Zahlen schneide, z.B.: $\{1\} \cap \{2\} \cap \{3\} \cap \{4\}... = \{\}$
Wenn ich beliebige, unterschiedliche, nat. Zahlen vereinige, z.B.: $\{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \{4\}... = \{1,2,3,4,...\}$, also die natürlichen Zahlen. Jetzt hab ich bei der Vereinigung trotzdem noch die Bedingung stehen, dass $ m < n $. Für mich wirkt dieses n, als wäre es sowas wie ein oberer Grenzwert, aber weil cauchy ja meinte, dass das kein festes n ist, stehe ich etwas auf dem Schlauch
  ─   jkub 13.11.2021 um 16:11

Ich hab Dir oben hingeschrieben, was M_n für die Vereinigung ist. Damit könntest Du anfangen.
Zahlen kann man gar nicht schneiden.
  ─   mikn 13.11.2021 um 16:32

Das $M_n$ für die Vereinigung haste ja schon geschrieben, ist: $M_n = \{M| m< n \}$
und das $M_n$ für den Schnitt müsste ja $M_n = \{M| m> n \}$ sein.
Jetzt schreibst du in deinem Kommentar: " Das ist Deine erste Reihe von $M_n$. Das vereinige nun, erst schrittweise, dann bis unendlich." - Genau da liegt ja das Problem, ich verstehe ja nicht, was ich da jetzt Vereinigen soll, die Menge mit sich selbst? Die Menge mit den natürlichen Zahlen? Die Menge $M_1$ mit $M_2$ mit $M_3$...? Genau da ist ja der Punkt wo ich hänge und den ich nicht verstehe
  ─   jkub 13.11.2021 um 17:35

Es steht bereits in meiner allerersten Antwort ganz oben. M_0=? M_1=? .... Und dann alles vereinigen.
Ich weiß nicht, wo Dein Problem liegt. Was ist $M_0\cup M_1$? Das wird dann vereinigt mit M_2, das Ergebnis dann mit M_3, usw. Von M_0 bis M_4 hast Du es oben ja schon gemacht. Dann halt weiter.
  ─   mikn 13.11.2021 um 18:30

Also was ich jetzt verstanden habe ist:
Sei $n \in {N}$ und ${N}_n = \{1,2,3,...,n\}$, dann ist $\bigcap_{n \in {N}}{N}_n = 1$ und $ \bigcup_{n \in {N}}{N}_n = {N}$
Wie bringe ich dieses grundlegende Verständnis mit den Bedingungen $m< n$ für die Vereinigung und $m > n$ für den Schnitt, in Einklang?
  ─   jkub 13.11.2021 um 19:48

Du meinst vermutlich M_n? Dann stimmt M_n (wie ich es oben def. habe) nicht. Außerdem ist der Schnitt keine Zahl. Und - wie ich schon sagte: Die Mengen sind bei Schnitt und Vereinigung laut Aufgabenstellung andere.
Ich hab Dir kleine Schritte vorgegeben und angeboten, mehr kann ich nicht tun.
  ─   mikn 13.11.2021 um 20:15

Dann müssen wir jetzt damit leben, dass ich das nicht raffe, trotzdem danke für deine Zeit und Bemühungen.
MfG
  ─   jkub 13.11.2021 um 20:23

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