Uneigentliches Integral

Erste Frage Aufrufe: 296     Aktiv: 15.06.2021 um 12:26

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Hallo,

ich habe das uneigentliche Integral 1/(x^2-4) von 0 bis 2 gegeben. 2 ist ja eine Polstelle, also lasse ich meine Hilfsvariable gegen 0 gehen um den Grenzwert zu berechnen. Den Nenner kann man natürlich faktorisieren. Da ich danach nicht weiter kam, habe ich es mir errechnen lassen.


Woher kommt dort die 1/4 bzw. die 4 im Nenner? Den Rest danach kann ich anwenden, aber ich wüsste gerne wie man auf die 4 kommt.
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Bei der Partialbruchzerlegung setzt du mit Parametern in den Zählern an, die du bestimmen musst: $$\frac1{(x-2)(x+2)}=\frac a{x-2}+\frac b{x+2}$$ Dann kannst du mit dem Nenner multiplizieren, um auf $$1=a(x+2)+b(x-2)$$ zu kommen. Diese Gleichung soll für alle $x$ gelten. Setzt du $x=2$ ein, erhälst du $a=\frac14$, für $x=-2$ bleibt $b=-\frac14$ stehen. Also gilt $$\frac1{(x-2)(x+2)}=\frac{1/4}{x-2}+\frac{-1/4}{x+2}=\frac1{4(x-2)}-\frac1{4(x+2)}$$
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