Bei der Partialbruchzerlegung setzt du mit Parametern in den Zählern an, die du bestimmen musst: $$\frac1{(x-2)(x+2)}=\frac a{x-2}+\frac b{x+2}$$ Dann kannst du mit dem Nenner multiplizieren, um auf $$1=a(x+2)+b(x-2)$$ zu kommen. Diese Gleichung soll für alle $x$ gelten. Setzt du $x=2$ ein, erhälst du $a=\frac14$, für $x=-2$ bleibt $b=-\frac14$ stehen. Also gilt $$\frac1{(x-2)(x+2)}=\frac{1/4}{x-2}+\frac{-1/4}{x+2}=\frac1{4(x-2)}-\frac1{4(x+2)}$$