Vermutlich war die Aufgabe nicht so gedacht (Annahme: Das obige ist genau die Aufgabenstellung im Original, also insb. ist kein einschränkender Defbereich gegeben).
Beachte genau den Wortlaut des Lagrange-Kriteriums:
Wenn es ein Extremum von f unter der NB... gibt, dann gibt es ein $\lambda$....
Wenn es so ein $\lambda$ gibt, heißt das also nicht, dass es ein Extremum unter der NB gibt. Die Existenz muss auf anderem Weg gesichert werden.
Üblicherweise darüber, dass die Nullstellenmenge von g beschränkt ist. Das ist hier aber nicht der Fall (was wiederum auch nicht heißt, dass es kein Extremum unter der NB gibt). Immer schön das "wenn-dann" beachten.
In diesem Fall gibt es aber wirklich keines. Der Graph von f ist eine Ebene im R^3. Die Nullstellenmenge von g ist eine Hyperbel (in der x-y-Ebene). Damit ist klar, dass es in der Ebene keine höchsten oder tiefsten Punkt, der über der Hyperbel liegt, gibt.