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Ich gehe mal davon aus, dass in der Aufgabenstellung eigentlich \(\mathbb{Q}\) anstelle des \(Q\) stehen sollte.

Dann kann man nämlich zeigen, dass die Aussage nicht gilt:

Angenommen wir haben ein solches \(V\) bzw ein zugehöriges \(p\). Sei nun \(v \in V\) mit \(v \neq 0\). Dann muss wegen der \(\mathbb{F}_p\)-Eigenschaft schon \(p \cdot v = \sum_{i=1}^p v = 0\) gelten. Das gibt aber einen Widerspruch zu \(\frac{p}{p} \cdot v = 1 \).

Ich habe jetzt nicht alles ausführlich geschrieben, damit du selbst noch drüber nachdenken kannst. Sollte es dir aber nicht selbst klar werden, kann ich an der ein oder anderen Stelle nochmal gerne weiter ausholen.
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Nein, das ist mehr als genug! Ich danke dir vielmals. Ich wünschte, Sie hätten bereits gestern geantwortet :D

Ich verstehe die Aufgabe jetzt so ziemlich und kann mich dementsprechend besser rantasten. Danke!
  ─   dr.schueler 21.05.2021 um 16:42

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