Es soll die Fläche von Kreis und Quadrat minimiert werden, unter der Nebenbedinung, dass der Umfang beider Flächen zusammen nicht größer als 10m ist.

Für den Umfang und Flächeninhalt des Kreises gilt:

\( U_K = 2 \cdot \pi \cdot r \) und  \( A_K = \pi \cdot r^2 \)

Für Umfang und Flächeninhalt des Quadrats gilt:

\( U_Q = 4a \) und \( A_Q = a^2 \)

Es soll gelten:

\( 10 = U_K + U_Q = 2\pi r + 4a \Leftrightarrow r = \frac{10 - 4a}{2\pi} \)

Die Zielfunktion lautet:

\( \min A_K + A_Q = \pi \cdot r^2 + a^2 \)

Nun kannst du deine Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen. Dadurch eliminierst du eine der Unbekannten und hast nach dem einsetzen eine Zielfunktion, die nur noch von \( a \) abhängt.

\( f(a) = \pi \cdot (\frac{10-4a}{2\pi})^2 + a^2 \)

Diese Funktion musst du nun ableiten, das Minimum bestimmen und anschließend noch durch die Nebenbedingung das entsprechende \( r \) des Kreises berechnen.