Wie löse ich diese Aufgabe?

Aufrufe: 124     Aktiv: 11.06.2021 um 23:26

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Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe:


Beweise dass \(x+log(x)+z-2=0\) und \(2x-y^2+z-1=0\) zwei Funktionen \(y=g(x),z=h(x)\) in einer Umgebung von x=0 impliziert definiert mit \(g(0)=1,h(0)=2\). Finde die Taylorentwicklung erster Ordnung für g und h.

Ich hätte das wie folgt gelöst, bin mir da aber nicht sicher ob das so formal so korrekt ist.

Wenn das so stimmt wäre ich froh wenn mir jemand die Intuition dieser Ableitungsformel von ganz am Schluss näherbringen könnte, denn wir hatten diese nur für 1 Funktion eingeführt, also wenn man zwei variabeln (x,y) hat und diese dann mit (x,g(x)) darstellen kann. Hier habe ich ziemlich viel Zeit verschwendet die richtige Matrix zu finden vorallem da ich zuerst nicht erkannt habe dass \((g'(0),h'(0))\) gemeinsam berechnet wird.
Wäre euch also dankbar wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte, vielen Dank dafür.

So hier wäre noch meine Lösung:

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Man muss nicht g'(0) und h'(0) gemeinsam berechnen. Kann man aber.
Ausgehen tun wir von
\(f_1(x):=x+\log g(x)+h(x)-2\) und \(f_2(x):=2\,x-g(x)^2+h(x)-1\)
Gemeinsame (in einem Vektor) Berechnung:
Ableiten der Gleichung \(f(x,g(x),h(x))=0\) vektoriell nach x. Ergibt mit Kettenregel:
\(f_x(x,g(x),h(x))+f_{yz}(g(x),h(x))\cdot (g'(x),h'(x))^T\). x=0 und bekannte Werte einsetzen, ergibt die Gleichung:
\(\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\begin {pmatrix} g'(0) \\ h'(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\).
Umstellen nach \(\binom{g'(0)}{h'(0)}\) liefert die Lösung, die Du ja schon kennst.
Variante: 1d-Ableitung:
\(0=f_1'(x)=1+\frac1{g(x)}g'(x)+h'(x)\) und \(0=f_2(x)=2-2\,g(x)\,g'(x)+h'(x)\).
x=0 und bekannte Werte einsetzen ergibt ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, was nicht überraschend auf die gleiche Lösung führt.
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Vielen Dank! Also die zweite Variante im 1d macht sehr Sinn. Nur bei der ersten sehe ich noch nicht ganz wie du auf diese Vektorielle Ableitung gekommen bist, bzw. was ist eine Vektorielle abgleitung genau, denn entweder hatten wir das nicht oder unter einem anderen Begriff/Notation. also man muss doch \(f(x,g(x),h(x))=(x+log(g(x))+h(x)-2, 2x-g(x)^2+h(x)-1)^T\) nach x ableiten. Macht man dass dann nicht partiell in jeder Komponente?   ─   karate 11.06.2021 um 21:25

Hatten wir nicht vor kurzem über die mehrdim. Kettenregel geredet? Äußere mal innere usw.. Und addieren: f nach erster Var Mal zugehörige innere Abl. (hier =1) plus f nach zweiter Var. (die nehmen wir als (y,z)) mal zugeh. innere Abl. (hier (g'(x),h'(x))^ZT.
Letztlich muss man f nach x ableiten, ja. Ist nur die Frage nach der Schreibweise.
  ─   mikn 11.06.2021 um 21:39

Ja das haben wir tut mir leid wenn ich so dumm frage aber irgendwie habe ich im Mehrdimensionalen extrem Mühe mit der Kettenregel da man sie einerseits über Matrizen berechnen kann andererseits einfach die äquivalente Darstellung über die Verkettung von Funktionen. Ich versuch es mir mal kurz schön aufzuschreiben aber auch da habe ich probleme, denn das fällt mir schwer da auch in der Vorlesung keine einheitliche Notation verwendet wurde sondern je nach Situation und Zeit gewisse "Notationskomponenten" weggelassen wurde.
Es ist doch schon so wenn ich die ableitung der Verkettung berechnen muss also \(d(f\circ g)|_x=df|_{g(x)}\circ dg|_x=Jac(f)|_{g(x)}\cdot Jac(g)|_x\) oder?
Wenn du Zeit und Lust hättest wäre ich dir sehr dankbar wenn du mir das vielleicht nochmals explizit erklären könntest denn wir hatten nur so aufgaben wo f und g gegeben waren und man einfach die Jacobimatrizen berechnen mussten und dann multiplizieren mussten fertig, trotzdem muss und will ich solche Aufgaben wie hier nun endgültig verstehen da mir das am meisten Bauchschmerzen bereitet momentan.
  ─   karate 11.06.2021 um 21:50

Ja, genau, das stimmt. Wenn Du das mit f=f(x,y,z) und und innere Funktion(x)=(x,g(x),h(x)) verwendest (bitte KEINE Doppelbezeichnungen, wenn wir hier zügig durchkommen wollen!), kommst Du
zuerst auf df=2x3-Matrix (siehe Deine LösungI und dinnereF=(1,g'(x),h'(x)) und alles ist gut. Das ist das, was ich mit "vektoriell" meine, also Aufschreiben mit Matrizen und Vektoren,
Wenn man dieses Matrix*Vektor ganz ausmultipliziert, kommt man auf die 1d-Version. Wenn man es nur teilweise ausmultipliziert, kommt man auf meine Version oben ("ergibt die Gleichung...."):
  ─   mikn 11.06.2021 um 22:06

Ja genau in diesem Moment habe ich das auch erhalten, also den Vektor mit den zwei 1d-Ableitungen. okei das ist mir nun klar aber gibt es hier einen Trick wie man das Ganze Matrix-Vektorzeugs umgehen kann also um "schneller" vorwärts zu kommen oder schlussendlich die Berechnungen rasch überprüfen kann dass sie Hinhauen?   ─   karate 11.06.2021 um 22:12

Das ist individuell - für manche geht es schneller mit Matrizen/Vektoren. Rechne die Varianten mal in Ruhe durch:
1. \(f(x,y,z)=(x+\log y+..., 2x-y^2-...), f:RxRxR->R^2\) mit \(u(x,y,z)=(x,g(x),h(x)): f\circ u:RxRxR->R\)
2. \(f(x,u)=(x+\log u_1+..., 2x-u_1^2-...), f:RxR^2->R\) mit \(u=(u_1,u_2)\) und \(v(x)=(g(x),h(x)\) und \(f\circ (I,v)\).
3. \(f(u)=(u_1+\log u_2...., 2u_1+u_2^2...), f:R^3->R\) mit \(u(x)=(x,g(x),h(x))\).

Beachte den feinen Unterschied im Def.Bereich von RxRxR, RxR^2, R^3. Das ist formal nicht(!) dasselbe, also nicht identisch, aber isomorph.
Es wäre gut, wenn Du jetzt soweit kommst, dass Dir alle Versionen gleich leicht fallen.
  ─   mikn 11.06.2021 um 22:21

okei super ja irgendwie ist für mich das erste am intuitivsten   ─   karate 11.06.2021 um 23:20

Die Intuition ist zum Glück erweiterbar ;-)
  ─   mikn 11.06.2021 um 23:26

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