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Man muss nicht g'(0) und h'(0) gemeinsam berechnen. Kann man aber.
Ausgehen tun wir von
\(f_1(x):=x+\log g(x)+h(x)-2\) und \(f_2(x):=2\,x-g(x)^2+h(x)-1\)
Gemeinsame (in einem Vektor) Berechnung:
Ableiten der Gleichung \(f(x,g(x),h(x))=0\) vektoriell nach x. Ergibt mit Kettenregel:
\(f_x(x,g(x),h(x))+f_{yz}(g(x),h(x))\cdot (g'(x),h'(x))^T\). x=0 und bekannte Werte einsetzen, ergibt die Gleichung:
\(\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\begin {pmatrix} g'(0) \\ h'(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\).
Umstellen nach \(\binom{g'(0)}{h'(0)}\) liefert die Lösung, die Du ja schon kennst.
Variante: 1d-Ableitung:
\(0=f_1'(x)=1+\frac1{g(x)}g'(x)+h'(x)\) und \(0=f_2(x)=2-2\,g(x)\,g'(x)+h'(x)\).
x=0 und bekannte Werte einsetzen ergibt ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, was nicht überraschend auf die gleiche Lösung führt.
Ausgehen tun wir von
\(f_1(x):=x+\log g(x)+h(x)-2\) und \(f_2(x):=2\,x-g(x)^2+h(x)-1\)
Gemeinsame (in einem Vektor) Berechnung:
Ableiten der Gleichung \(f(x,g(x),h(x))=0\) vektoriell nach x. Ergibt mit Kettenregel:
\(f_x(x,g(x),h(x))+f_{yz}(g(x),h(x))\cdot (g'(x),h'(x))^T\). x=0 und bekannte Werte einsetzen, ergibt die Gleichung:
\(\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\begin {pmatrix} g'(0) \\ h'(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\).
Umstellen nach \(\binom{g'(0)}{h'(0)}\) liefert die Lösung, die Du ja schon kennst.
Variante: 1d-Ableitung:
\(0=f_1'(x)=1+\frac1{g(x)}g'(x)+h'(x)\) und \(0=f_2(x)=2-2\,g(x)\,g'(x)+h'(x)\).
x=0 und bekannte Werte einsetzen ergibt ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, was nicht überraschend auf die gleiche Lösung führt.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 33.09K
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Vielen Dank! Also die zweite Variante im 1d macht sehr Sinn. Nur bei der ersten sehe ich noch nicht ganz wie du auf diese Vektorielle Ableitung gekommen bist, bzw. was ist eine Vektorielle abgleitung genau, denn entweder hatten wir das nicht oder unter einem anderen Begriff/Notation. also man muss doch \(f(x,g(x),h(x))=(x+log(g(x))+h(x)-2, 2x-g(x)^2+h(x)-1)^T\) nach x ableiten. Macht man dass dann nicht partiell in jeder Komponente?
─
karate
11.06.2021 um 21:25
Ja das haben wir tut mir leid wenn ich so dumm frage aber irgendwie habe ich im Mehrdimensionalen extrem Mühe mit der Kettenregel da man sie einerseits über Matrizen berechnen kann andererseits einfach die äquivalente Darstellung über die Verkettung von Funktionen. Ich versuch es mir mal kurz schön aufzuschreiben aber auch da habe ich probleme, denn das fällt mir schwer da auch in der Vorlesung keine einheitliche Notation verwendet wurde sondern je nach Situation und Zeit gewisse "Notationskomponenten" weggelassen wurde.
Es ist doch schon so wenn ich die ableitung der Verkettung berechnen muss also \(d(f\circ g)|_x=df|_{g(x)}\circ dg|_x=Jac(f)|_{g(x)}\cdot Jac(g)|_x\) oder?
Wenn du Zeit und Lust hättest wäre ich dir sehr dankbar wenn du mir das vielleicht nochmals explizit erklären könntest denn wir hatten nur so aufgaben wo f und g gegeben waren und man einfach die Jacobimatrizen berechnen mussten und dann multiplizieren mussten fertig, trotzdem muss und will ich solche Aufgaben wie hier nun endgültig verstehen da mir das am meisten Bauchschmerzen bereitet momentan. ─ karate 11.06.2021 um 21:50
Es ist doch schon so wenn ich die ableitung der Verkettung berechnen muss also \(d(f\circ g)|_x=df|_{g(x)}\circ dg|_x=Jac(f)|_{g(x)}\cdot Jac(g)|_x\) oder?
Wenn du Zeit und Lust hättest wäre ich dir sehr dankbar wenn du mir das vielleicht nochmals explizit erklären könntest denn wir hatten nur so aufgaben wo f und g gegeben waren und man einfach die Jacobimatrizen berechnen mussten und dann multiplizieren mussten fertig, trotzdem muss und will ich solche Aufgaben wie hier nun endgültig verstehen da mir das am meisten Bauchschmerzen bereitet momentan. ─ karate 11.06.2021 um 21:50
Ja genau in diesem Moment habe ich das auch erhalten, also den Vektor mit den zwei 1d-Ableitungen. okei das ist mir nun klar aber gibt es hier einen Trick wie man das Ganze Matrix-Vektorzeugs umgehen kann also um "schneller" vorwärts zu kommen oder schlussendlich die Berechnungen rasch überprüfen kann dass sie Hinhauen?
─
karate
11.06.2021 um 22:12
okei super ja irgendwie ist für mich das erste am intuitivsten
─
karate
11.06.2021 um 23:20
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.